16.2 Синтез алгоритмов и схем оптимальных приёмников, корреляционный приёмник, приёмник с согласованным фильтром

Оптимальный приёмник Котельникова.

Рассмотрим работу оптимального приёмника, работающего по критерию максимума апостериорной вероятности (16.3). Структурная схема такого приёмника приведена на рисунке 16.1.

Рисунок 16.1

Здесь в блоках под номерами 0, 1, 2,… m_а-1, на основе априорных сведений о передаваемых сигналах и статистических свойствах используемого канала связи по реализации принятого сигнала оцениваются апостериорные вероятности . Затем в блоке сравнения (БС) выносится решение о том, что передавался тот сигнал S_j , для апостериорной вероятности которого справедливо неравенство

. (16.4)

Операцию интегрирования входного сигнала с предварительным взвешиванием называют фильтрацией. С учётом этого приёмник, работающий согласно, состоит из двух блоков: первый блок – это линейный фильтр, который в данном случае называют оптимальным активным фильтром; второй блок – нелинейное пороговое устройство (двухуровневый квантователь).

Приемник на согласованных фильтрах.

Скалярное произведение между наблюдаемым случайным процессом Z(t) и опорным сигналом S_i(t) можно вычислить не только при помощи коррелятора, но и на основе пассивного линейного фильтра с постоянными параметрами. Среди таких фильтров будем рассматри­вать согласованные фильтры, которые обладают такой передаточной функцией K(iω), что в момент времени t=T, т. е. при снятии отсчета отношение сигнал/шум на их выходе является максимальным.

Найдем выражение для передаточной функции K(iω) согласованного фильтра. Пусть S(iω) — комплексный спектр сигнала на входе фильтра, тогда спектр на выходе определяется произведением, S(iω)*K(iω). Используя об­ратное преобразование Фурье, запишем выходной сигнал в момент времени t=t₀:

(16.5)

Пусть помехой является белый шум n(t), энергетиче­ский спектр которого является равномерным на всех час­тотах G(ω) = No/2. Спектр шума на выходе фильтра опре­деляется выражением:

(16.6)

Используя теорему Винера-Хинчина, запишем дис­персию помехи на выходе фильтра:

(16.7)

Тогда отношение сигнал/шум в момент времени сня­тия отсчета t=t₀ будет иметь следующий вид:

(16.8)

Чтобы найти значение K(iω), при котором величина q в момент t=t₀ является максимальной, воспользуемся известным неравенством Буняковского-Шварца:

(16.9)

где x(f),y(f)-любые комплексные функции. При этом знак равенства имеет место только в том случае, когда x(f)-Cy(f), С = const, У(f) функция, комплексно сопряженная y(f). Положим теперь

(16.10)

Тогда после подстановки получим

(16.11)

Из полученного соотношения видно, что максимум величины q на выходе фильтра не зависит от формы сиг­нала, а целиком определяется отношением энергии сигнала к спектральной плотности мощности шума. Данная величина q максимизируется, если передаточная функция фильтра равна

(16.12)

где С — некоторая постоянная, характеризующая усиление фильтра, S(iω) функция, комплексно сопряжен­ная со спектральной плотностью сигнала, поступающего на вход фильтра.

Запишем спектральную плотность входного сигнала и передаточную функцию фильтра в виде

(16.13)

(16.14)