12.2 Математическое введение к групповым кодам

Основой математического описания линейных кодов является линейная алгебра (теория группы, полей, теория векторных пространств, теория матриц). КК рассматривается как элементы множеств.

Например:

КК двоичного кода принадлежащей множеству положительных двоичных чисел.

Алгебраические системы – множества для которых определены некоторые алгебраические операции.

Алгебраические операции – однозначное сопоставление двум элементам некоторого 3-го элемента по определенным правилам.

Основные операции		Обратные операции
Сложение	(a+b)=c	Вычитание	(a-b)=c
Умножение	A*b=c	Деление	a/b=c

Рассмотрим основные алгебраические системы, использующиеся в теории корректирующих кодов.

Группа – множество элементов в которых определена одна основная операция и выполняются следующие аксиомы:

1. В результате применения операции к любым двум элементам группы образуется элемент этой же группы.

2. Для любых трех элементов группы a, b и с удовлетворяется равенство:

(a+b)+c=a+(b+c)

или

a(bc)=(ab)c.

3. В любой группе G существует однозначный определенный элемент, удовлетворяющий для всех а из G условию:

Осн. сложение - > a+0 = 0+a =a.

Умножение -> a*1 = 1*a =a.

4. Всякий элемент группы обладает элементом, однозначно определенным уравнением:

Сложение	а+(-а)=-а+а=0
Умножение

(-а) – противоположный элемент

– обратный элемент

Для коммутативной (абелевой) группировки выполняются условия коммутативности.

Сложение	а+b=b+а
Умножение	ab=ba

Одной из основных операций при рассмотрении п/у кодов является определение сложения по m2:

0 0 = 0 0 1 = 1 1 0 = 1 1 1 = 0

Особенностью операции суммирования по mod2 является, то что сложение по mod2 однозначно равно вычитанию по mod2 т.к. а а=0, то

а =- а

12.3 Построение двоичного группового кода

12.3.1 Определение числа избыточных символов.

Построение конкретного корректирующего кода производится исходя из требуемого объема кода Q, т.е. необходимого числа передающих КК.

Вектор ошибки – КК, которая имеет нули в правильно принятых разрядах и единицы в искаженных разрядах.

Если необходимо передать Q информационных сообщений, то число разрядов К должно быть равно: k – число информационных символов.

Чтобы иметь возможность получить информацию об искаженном разряде каждому вектору должен быть поставлен в соответствие некоторая контрольная последовательность символов, называемая опознавателем (синдром).

Каждый символ опознавателя оценивается в результате проверки на полученной стороне одной из частых проверок.

Проверки составляются т.о. чтобы сумма всех символов по модулю 2 (включая проверочный), включенных в каждое из равенств = 0., т.е. числа “1” в таком равенстве всегда четные. Поэтому эти равенства называют проверками на четность.

Если искажение среди проверочных разрядов отсутствует, то такая проверка дает 0 .

Если среди проверочных разрядов имеются искажения , то в в результате проверки =>1.

В результате всех проверок образуется определитель :

если искажений нет > 00..00; искажения нет > 1 в искаженных разрядах.

То количество исправленных ошибок определяет количество избыточных символов. Их число должно быть достаточным для обеспечения необходимого количества опознавателей.

Для исправления одиночных ошибок достаточно иметь: n векторов ошибок

Тогда число ненулевых определителей должно быть :

m – число контрольных символов или .

Для исправления двойных независимых ошибок: .

Для исправления ошибок кратности S: .

13.7 Код Хэмминга с исправлением одиночной и обнаружением двойной ошибки (d=4).

Реализуется следующим образом: путем добавления дополнительного контрольного разряда общей проверки на четность. Для кода (8.4) дополнительная проверка имеет вид: .

При приеме возможны следующие виды:

1) ошибок нет: - - общая проверка даст нуль

- частные проверки дают “0”

2) одиночная ошибка в разрядах :

- общая проверка 0 ;

- частные проверки 0;

3) ошибка в разряде : - частные проверки 0 ;

- общая проверка 0;

4) двойная ошибка: - частные проверки = 0 ;

- общая проверка 0;