Теоретичні відомості

Результат вимірювання фізичної величини – значення величини, отримане шляхом її вимірювання. Але при будь-якому ступені досконалості і точності вимірювальної апаратури, раціонально спланованій методиці вимірювань, ретельності виконання вимірювальних операцій результат вимірювань відрізняється від істинного значення фізичної величини. Відхилення результату вимірювання від істинного значення вимірюваної величини називають похибкою вимірювання.

Не маючи в своєму розпорядженні інформації про характер і значення похибки вимірювання, результат вимірювання фізичної величини не можна вважати достовірним. Тому оцінка похибок і, якщо можливо, їх виключення, або зменшення їх впливу на результати вимірювань є неодмінною частиною вимірювальної процедури.

Щоб правильно оцінювати похибки, слід ясно представляти причини їх виникнення, розуміти, до якого вигляду відноситься дана складова похибки вимірювань.

В залежності від причини виникнення можливо виділити наступні складові похибок вимірювань:

- методична складова похибки вимірювань, що походить від недосконалості методу вимірювань;

- інструментальна (апаратна) складова похибки вимірювань, обумовлена похибкою засобів вимірювальної техніки. Вона залежить від схеми і якості виконання перетворювальних елементів, похибки відлікового пристрою, стану засобу вимірювання в процесі його експлуатації;

- зовнішня складова похибки, обумовлена зовнішніми умовами, в яких проводяться вимірювання (температура, тиск, вологість навколишнього середовища, наявність механічної вібрації, магнітних і електричних полів, рівень радіоактивного випромінювання і т.п);

- суб'єктивна складова похибки, така, що виникає унаслідок неправильного вибору моделі, недосконалості органів чуття оператора, а також його недбалості або недостатньої уваги в процесі вимірювань і фіксації їх результатів.

Залежно від способу представлення похибки вимірювання випадкової величини розрізняють абсолютну та відносну похибку.

Абсолютна похибка – різниця між виміряним значення фізичної величини та дійсним значення даної величини

. (1.1.)

Оскільки істинне значення вимірюваної величини залишається невідомим, замість істинного значення приймають, так зване, дійсне значення, під яким розуміють значення вимірюваної величини, знайдене експериментальним шляхом і настільки близьке до істинного значення, що може бути використане замість нього.

Абсолютна похибка вимірювання виражається в одиницях вимірюваної величини і не завжди є достатньою або наочною інформацією про точність вимірювання. Наприклад, одне і те ж значення абсолютної похибки в 0,1 В при вимірюваній напрузі 100 В відповідає достатньо високій точності вимірювань, а при напрузі 1 В – низькій точності. Тому в багатьох випадках абсолютну похибку корисно співвіднести з розміром самої вимірюваної величини. Тоді використовується поняття відносної похибки вимірювання.

Відносна похибка – похибка вимірювання, виражена відношенням абсолютної похибки вимірювання до дійсного значення вимірюваної величини і виражається в відсотках

. (1.2)

По закономірності проявлення похибки бувають систематичними і випадковими.

Систематичними є такі похибки, які зберігають постійне значення і знак або виявляються з певною закономірністю при повторних вимірюваннях одного і того ж значення фізичної величини (наприклад, похибка градуювання шкали, температурна похибка і т.п.).

Випадкові похибки мають імовірнісний характер і при кожному повторному вимірюванні можуть бути різними як по величині, так і по знаку.

(наприклад, дрейф нуля на виході підсилювача постійного струму вольтметра; похибки, обумовлені дією флуктуаційних завад і т.п.).

Випадкова похибка, як і будь-яка випадкова величина, характеризується видом закону розподілу і параметрами цього закону.

Найбільш типовим законом розподілу випадкових величин є так званий нормальний закон або закон Гауса

. (1.3)

Функцію прийнято також називати функцією щільності імовірності.

В формулі (1.3) – математичне сподівання, – середньоквадратичне відхилення випадкової величини (випадкової похибки) від математичного сподівання ( називається дисперсією).

Припустимо, що проведено вимірювань ( ) деякої фізичної величини . Тоді математичне сподівання по даній вибірці (центральний результат) розраховується як середньоарифметичне значення

. (1.4)

Для обчислення середньоквадратичного відхилення по тій же вибірці вимірювань статистична теорія пропонує наступну формулу

. (1.5)

На рисунку 1.1 показаний вигляд функції з параметрами , (крива 1) і , (крива 2).

Рис.1.1. Вигляд функції щільності імовірності у разі нормального закону розподілу при різних значеннях середньоквадратичного відхилення

Інтеграл від функції щільності по деякому інтервалу визначає імовірність попадання випадкової величини в даний інтервал. Відомо, що інтеграл по нескінченному інтервалу від функції дорівнює одиниці

.

Імовірність одиниця – означає достовірну подію, тобто відображає очевидний факт, що у разі вимірювання деякого значення отриманий результат обов'язково опиниться в межах ( ). Імовірність отримання результату в діапазоні [ ] визначається значенням інтеграла від по цьому діапазону:

(6)

Якщо вибрати для себе таке значення імовірності Р , на яке можливо спертися (тобто імовірність, якій довіряємо), то можна однозначно вказати симетричний щодо математичного сподівання інтервал , в якому з імовірністю опиниться результат чергового вимірювання. Співвідношення між і достатньо очевидно

.

Вибрану імовірність Р прийнято назвати довірчою імовірністю, а відповідний їй інтервал – довірчим інтервалом.

На практиці вимірювань застосовують різні значення довірчої імовірності, наприклад: 0,90; 0,95; 0,98; 0,99; 0,9973 і 0,999. Довірчий інтервал і довірчу імовірність вибирають залежно від конкретних умов вимірювань. У загальному випадку довірчий інтервал може бути встановлений, якщо відомий вид закону розподілу похибки і основні характеристики цього закону.

Вимірювання фізичної величини можуть бути проведені з різною точністю. Дуже часто при вимірюваннях переслідується мета визначення вимірюваної величини з високою точністю, для чого необхідно дати оцінку похибки результату вимірювання або встановити межі зміни шуканого параметра з урахуванням похибки. Цю оцінку можна отримати на підставі статистичної обробки результатів вимірювань.

Метою статистичної обробки результатів вимірювань є встановлення дійсного значення вимірюваної величини, яке може бути прийняте замість істиного значення, і ступеня близькості дійсного значення до істинного.

Згідно методики статистичної обробки результатів багатократних вимірювань, обробку результатів окремих вимірювань ряду необхідно проводити в наступному порядку:

- проводять n вимірювань (одиничних вимірювань) і фіксують n результатів вимірювань одного і того ж значення фізичної величини ;

- виключають відомі систематичні похибки з результатів спостережень і отримують виправлені результати ;

- знаходять середнє арифметичне значення виправлених результатів спостережень по формулі

і приймають за дійсне значення результату вимірювання;

- визначають абсолютні похибки окремих результатів вимірювань:

, ,

(ці похибки містять як не виключену систематичну похибка, так і випадкову складову);

- визначають не виключену систематичну похибка

(передбачається, що випадкова складова похибки підкоряється нормальному закону розподілу);

- обчислюють середньоквадратичну похибка, яка дає оцінку відхилення окремої абсолютної похибки від їх середнього значення:

;

- обчислюють оцінку средньоквадратичного відхилення середнього значення абсолютних похибок окремих результатів вимірювань від дійсного значення похибки:

;

- обчислюють довірчі межі випадкової похибки результату вимірювання:

а) задаються довірчою вірогідністю Р

б) по таблиці коефіцієнтів Стьюдента (додаток А) визначають значення , відповідне заданій довірчій імовірності Р і числу ступенів свободи ;

в) знаходять значення абсолютної випадкової похибки з виразу

;

г) обчислюють довірчі межі ( ; );

д) визначають довірчий інтервал J =( … );

- записують результат вимірювання

; Р; n.