7. Обработка результатов испытаний малой выборки. Распространение результатов испытания выборки на партию материала.

В математической статистике партию продукции рассматривают как генеральную совокупность, а ее исследуемую часть называют выборкой.

Партией материала называется одновременно комплектуемая на производстве масса материала одного качества и происхождения, оформленная одним документом. Чтобы определить отдельные показатели качества партии материала или изделий отбирают небольшую часть, отражающую свойства всей партии продукции. Часть материала, отбираемая от партии, называется образцом, часть образца – пробой.

Сводные характеристики выборки при малом числе измерений (n < 50) как на основании полученной в эксперименте группы результатов наблюдений оценить истинное значение, т.е. найти результат измерений, и как оценить его точность, т.е. меру его приближения к истинному значению? При проведении исследований необходимо правильно обобщить множество получаемых числовых показателей и заменить их немногими, но наиболее исчерпывающими, сводными характеристиками, такими как среднее арифметическое, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации и другие, определить закон распределения первичных данных, что позволит в дальнейшем дать правильную оценку генеральной совокупности, произвести совместный учет погрешностей выборки и измерений.

Среднее значение определяет центр распределения случайных величин, около которого группируется большая их часть. Этот центр характеризуется средней арифметической, медианой, средней геометрической и средней гармонической.

Среднее арифметическое – это среднее значение из суммы всех исследованных величин, деленной на число испытаний:

__ _i

Х = 

n

Модой называют значение случайную величину, имеющую для дискретной величины наибольшую вероятность, а для непрерывной – наибольшую плотность вероятности. Средняя гармоническая

n

Хz = 

Хi)

Медианой называют такую случайную величину, для которой Одинакова вероятность появления меньших и больших значений. При нормальном распределении математическое ожидание и медиана совпадают.

Среднее геометрическое – величина, равная корню n - й степени из произведения n данных величин:

_n 

Х_о =  Х ₁  Х ₂  Х ₃  ... Х_n-1  Х _n

Cреднее квадратическое отклонение делится на смещенное S и несмещенное S₁. Среднее квадратическое отклонение S_, полученное при выборке n<30, носит название смещенного и его среднее значение занижено по сравнению со средним квадратическим отклонением для всей партии материала, а значение S₁ соответствует среднему квадратическому отклонению всей партии материала.

___________

/  ( Xi- X )²

S =  

n-1



/  i- А )²

S₁ =  

n

Коэффициент неровноты, %

__

 | Xi– X |

Н =  100

NX

Коэффициент вариации, % - является относительной характеристикой рассеяния случайной величины

S

С =  100

X

Доверительные интервалы и доверительные вероятности

Для исследователя важно знать точность и надежность оценки каждого определенного параметра. Представления о них дают доверительные интервалы.

Двусторонним доверительным интервалом называют интервал от Х– до Х+, который покрывает неизвестный параметр распределения с заданной доверительной вероятностью Р_д.

Доверительная ошибка  характеризует случайную ошибку параметра распределения. Чем меньше значение , тем больше точность оценки Х.

Доверительной вероятностью Р_д , или надежностью, соответствующей данному доверительному интервалу, называется вероятность того, что истинное значение многих числовых характеристик Х лежит в этом интервале

Р ( Х – m < X < X + m ) = Р_д

Величина, равная  = 1 – Р_д называется уровнем значимости и иногда выражается в процентах. Она характеризует вероятность событий, условно принимаемых за невероятные.

При статистической обработке экспериментальных данных надежность полученных оценок принимает доверительную вероятность Р_д равную 0,9…0,95 для поисковых работ; 0,95…0,98 для исследования процессов и машин; 0,95…0,99 для контроля качества продукции.

При определении доверительного интервала используют формулы:

X – m = X – t₁ S /  n

X + m = X + t₁ S /  n

Где t – квантиль распределения Стьюдента при доверительной вероятности  = 0,95.