Заняття 47

Тема 13.2. Функціональні ряди (фр): область точкової збіжності, рівномірна збіжність фр, властивості рівномірно збіжних рядів.

Тема 13.2(продовження) Степеневі ряди. Визначення радіуса, інтервала, області збіжності. Почленне інтегрування та диференціювання. Заняття 48

Ряд Тейлора для функції. Застосування ряду Тейлора.

ВПРАВИ

1. Знайти область збіжності степеневого ряду

Розв’язання. Знаходять радіус збіжності:

=

інтервал збіжності (-1;1). Область збіжності може відрізнятись від нього лише граничними точками. Досліджується збіжність ряду в них. При х=1 ряд знакодатний: - узагальнений гармонічний степені два; відомо, що він збігається. При х=-1 степеневий ряд стає знакопочережним числовим рядом , який досліджується на абсолютну збіжність: збіжний ряд, тож при х=-1 даний степеневий ряд абсолютно збігається. Область збіжності [-1;1].

2. Знайти чотири перших члена розкладання в степеневий ряд частинного розв’язку задачі Коши

Розв’язання. Розкладання частинного розв’язку в степеневий ряд – це розкладання в ряд Тейлора ( в ряд Маклорена при х₀=0):

y(x)=y(x₀)+

Із початкової умови у(0)=1, Із диф. рівняння

- це відповідь.

Тема 13.3. Тригонометричний ряд Фур'є для періодичної функції, парної та непарної. Заняття 49

Ряд Фур'є для функцій заданих на відрізку.

ВПРАВИ

1. Розкласти в ряд Фурь’є періодичну функцію знайти суму цього ряду в усіх точках збіжності.

Розв’язання. Період функції 2l=2. Її можна записати у вигляді де f₁(х)=3, її ряд Фурь’є складається із одного члена =3 ; f₂(х)=2х, непарна функція, її ряд Фурь’є - непарна функція, її ряд Фурь’є

Знаходження коефіцієнтів рядів:

=

Ряд Фурь’є даної функції: -

За теоремою Діріхлє даний ряд збігається до значень функції f(x) в усіх точках, крім точок розриву х_і= в точках розриву ряд збігається до значення

Література

1. Овчинников П.П., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Вища математика. ч.1. – К.:”Техніка”,2000.-592с.

2. Самойлов С.Н.Методические указания к практическим занятиям по курсу “Высшая математика”(Неопределенные интегралы).- Харьков: ХИРЭ,1989.

3. Самойлов С.М.Методичні вказівки до практичних занять курсу ”Вища математика”(Кратні та криволінійні інтеграли).-Сєвєро-донецьк: СТІ, 1998.

4. 1.Овчинников П.П. Вища математика. Ч.2.-К.: “Техніка”, 2000.-592с.

5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2.-М.: “Высш. шк.,”1986.

6. Доценко А.Д., Нагулин Н.И. Методические указания к практическим занятиям по курсу “Высшая математика” (Ряды).- Харьков: ХИРЭ, 1992.

40