Заняття 24

Тема 8.5. Екстремум фбз.

ВПРАВИ

1. Знайти екстремум функції z(x,y).z=x²–y²+5y+4x, A(2;3), B(2,01;2,98).

Розв'язання. Стаціонарні точки функції z(x,y):

C(-2; 2,5 )

Використовуючи достатню умову екстремума, визначаємо, чи є вона точкою екстремуму:

,

- визначник від’ємний, екстремуму функція z(x,y) не має.

2. Знайти найбiльшi i найменшi значення функцiї

Z=3x²+3y²-2x-2y+2 в трикутнику, обмеженому прямими

x=0; y=0; x+y-1=0.

Розв`язання.

1. Знайдемо стацiонарнi точки цiєї функцiї , для чого

знайдемо частиннi похiднi:

Прирiвнюємо їx до нуля: 6x-2=0;

6y-2=0;

Ця точка лежить в трикутнику.

Обчислимо значення функцiї в цiй точцi:

Дослiдимо функцiю на границях областi (cторонах три-

кутника).

На прямiй x=0 вираз для функцiї буде: z=3y²-2y+2.

Знаходимо

Ця точка лежить на сторонi трикутника i знаходимо зна-

чення функцiї

На прямiй y=0 вираз для функцiї буде:

z=3x²-2x+2.

Ця точка лежить на сторoнi трикутника, знаходимо

значення функцiї:

На прямiй x+y-1=0; y=1-x i вираз для функцiї буде:

z=3x²+3(1-x)²-2x-2(1-x)+2=3x²+3-6x+3x²-2x-2+2x+2=

= 6x²-6x+3.

Знаходимо

Точка лежить на сторонi трикутника, обчислимо

значення функцiї в цiй точцi:

Вершинами областi являються точки(0;0);(0;1);(1;0).

Обчислимо значення функцiї в вершинах областi:

z(0,0) = 2; z(0;1)=3 ^. 0+3 ^. 1²-2 ^. 0 –2 ^. 1+2=3.

z(1;0)=3^.1²+3^.0-2^.1-2^.0+2=3.

Отже, найменше значення функцiя приймає в точцi

найбiльше значення в двох точках

z(0,1)=z(1,0)=3.

Вiдповiдь: найменше

Найбiльше

Заняття 25-26 Розділ 9. Невизначені інтеграли.

Тема 9.1. Первісна. Невизначений інтеграл. Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала, підстановками та частинами.

ВПРАВИ

1. Знайти невизначені інтеграли .

а) .

Рішення.

=

.

Відповідь: .

б) .

Розв'язання.

= =

с =

.

Відповідь: .

Заняття 27

Тема 9.2. Інтегрування раціональних дробів.

ВПРАВИ

1. .

Розв'язання.Представимо підінтегральну функцію у вигляді суми найпростіших раціональних дробів:

(1).

Домножимо обидві частини рівності (1) на :

або , .

Дорівняємо коефіцієнти при однакових ступенях x:

Одержали систему лінійних рівнянь. Розв'язавши її, одержимо ; ; .

Підставимо знайдені значення коефіцієнтів A, B и C в (1):

або

.

Тоді

= =

.

Відповідь: .

Заняття 28-29

Тема 9.3. Інтегрування методом раціоналізації ірраціональних алгебраїчних функцій, раціональних тригонометричних функцій.

ВПРАВИ

1. .

Розв'язання. = = = = .

Відповідь: .

2. .

Розв'язання. = = | Виділимо у знаменнику повний квадрат:

= .

Відповідь: .

Заняття 30

Розділ 10. Визначені інтеграли.

Тема 10.1 Інтегральна сума, визначений інтеграл. Задачі, що приводять до визначеного інтеграла. Формула Ньютона – Лейбниця.

Тема 10.2. Заміна змінної у визначеному інтегралі.

ВПРАВИ

1. Обчислити визначені інтеграли.

а) .

Розв'язання. = .

Відповідь: .

б) .

Розв'язання. = = = .

Відповідь: .

Заняття 31

Інтеграл від парних та непарних функцій по симетричному відрізку. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

ВПРАВИ.

1. Обчислити визначений інтеграл .

Розв’язання. Інтеграл обчислюється за формулою Ньютона-Лейбниця з використанням універсальної тригонометричної підстановки:

= =

= = = =

= = = =

= .

Відповідь: = .

Заняття 32-33

Тема 10.3 Геометричні застосування визначених інтегралів.

ВПРАВИ

2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями ; .

Розв'язання. Перше рівняння є рівняння параболи. Друге рівняння задає на площині пряму. Знайдемо точки перетинання цих ліній:

З другого рівняння .

Тоді

;

.

; .

Зробимо креслення .

=

.

Відповідь: кв. од.

3. Знайти довжину дуги

Розв'язання.

.

Відповідь: 40 лін. од.