Заняття 42

Тема 12.3. Здр вищих порядків. Рівняння, що допускають зниження порядку.

ВПРАВИ

1. Розв’язати диф. рівняння, які допускають зменшення порядку.

а) Знайти загальний розв’язок:

Розв’язання. Дане рівняння не включає в явному вигляді у. В цьому випадку порядок рівняння зменшується заміною невідомої функції z(x)=

Знаходження z(x):

Знаходження у(х): :

Перевірка існування додаткових розв’язків при z=0: , - це розв’язок (підстановка його у вихідне диф. рівняння дає тотожніть 0=0), який є особливим випадком розв’язку при (тут позначено .

Відповідь:

б) Знайти частинний розв’язок: у(1)=2,

Розв’язання. Дане диф. рівняння не включає в явному вигляді х. В цьому випадку порядок рівняння зменшується заміною невідомої функції p(y(x))= це рівняння відносно р(у) при початковій умові р(2)=-1.

Знаходження р(у):

( ),

Знаходження у(х): , - це частинний розв’язок.

Заняття 43

Тема 12.4. Однорідні лдр (олдр) зі сталими коефіцієнтами.

Неоднорідні ЛДР (НЛДР). Метод варіації довільних сталих. Визначення частинного розв'язку НЛДР з правою частиною спеціального вигляду .

ВПРАВИ.

1. Розв’язати неоднорідні лінійні диф. рівняння з постійними коефіцієнтами.

а) Знайти частинний розв’язок: у(0)=1,

Розв’язання. Загальний розв’язок має вигляд , де - загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння , - який-небудь частинний розв’язок даного неоднорідного рівняння.

Знаходження за допомогою характеристичного рівняння

r²-2r+1=0. В цьому випадку однакових коренів =

, – довільні сталі.

Знаходження . Права частина рівняння має вигляд , де Р_n(х)=х, . співпадає з обома коренями r₁=r₂=1. В цьому випадку шукають у вигляді , знаходячи А і В

підстановкою у дане диф. рівняння:

Коефіцієнти при однакових степенях х рівних многочленів рівні, тоді:

Загальний розв’язок:

Із початкової умови знаходять с₁, с₂:

Частинний розв’язок:

б) Знайти загальний розв’язок:

Розв’язання. . Знаходження :

В цьому випадку комплексних коренів

Знаходження Права частина рівняння має вигляд

де В цьому випадку шукають у вигляді

.

Підстановка в диф. рівняння:

Із умови рівності коефіціентів справа і зліва: при sin2x -4A=8, A = - 2, при cos2x 4B=0, B = 0.

Загальний розв’язок

Заняття 44

Тема 12.5. Розв'язання нормальних систем диференціальних рівнянь методом виключення.

ВПРАВИ.

1. Розв’язати нормальну систему диф. рівнянь методом виключення:

Розв’язання. Виключають невідому функцію z(x): диференціюють перше рівняння підставляють вираз із другого рівняння системи складають систему із якої виключають z .Розв’язують друге рівняння:

Загальний розв’зок:

Із початкової умови:

Частинний розв’язок:

Заняття 45-46 Розділ 13. Ряди.

Тема 13.1 Числові ряди. Безпосереднє дослідження, необхідна умова збіжності.

Достатні умови збіжності знакододатних рядів: порівняння, Даламбера, радикальні та інтегральна Коші.

Знакозмінні ряди абсолютно та умовно збіжні. Знакопочережні (знакопереміжні) ряди, теорема Лейбниця. 4 4 2

ВПРАВИ

1. Дослідити числові ряди.

а)

Розв’язання. Застосування висновку необхідної умови збіжності числового ряду:

ряд розбіжний.

б)

Розв’язання. Ряд знакододатний.

тож необхідна умова збіжності не заперечує збіжності ряду. Треба скористатись достатніми умовами збіжності. Загальний член даного ряду – раціональний дріб, який має порядок ̃~ при В цьому випадку застосовують ознаки порівняння ,- порівняння з гармонічним розбіжним рядом За другою ознакою порівняння скінченна ненульова границя, тож даний ряд, як і гармонічний ряд, розбіжний.

в)

Розв’язання. Ряд знакодатний. Якщо загальний член складається з факторіалів і показникових функцій, то зручна ознака Даламбера:

це необмежена функція при n , ряд розбіжний.

г)

Розв’язання. Загальний член ряду-степенево показникова функція. В цьому випадку зручна радикальна ознака Коши:

ряд збіжний.

д)

Розв’язання. Ряд знакодатний. У випадках, коли застосування інших ознак укладнене, може бути зручною інтегральна ознака збіжності: нехай

,

невластивий інтеграл збіжний, тож і ряд збіжний.

є)

Розв’язання. Ряд знакозмінний. Тому треба з’ясувати не тільки його збіжність, але і характер збіжності - абсолютний чи умовний. Спочатку досліджується абсолютна збіжність: знакододатний гармонічний ряд, відомо, що він розбіжний, і тому даний ряд не є абсолютно збіжним і треба дослідити його ще і на умовну збіжність.

Ряд знакопочережний. Перевіряють умови ознаки Лейбниця:

1) або

2)

умови виконуються, ряд збігається умовно.