О смысле чисел.

Существование чисел Шпенглер называет тайной. Число – основа математики. В нём Шпенглер начинает разделять природу и историю: природа исчислима, а история – это совокупность всего того, что не имеет никакого отношения к математике. Число – «знак законченного экстенсивного ограничения, в котором заложена сущность всего действительного, всего, что стало, познано и разграничено в одно и то же время». Идеи каждой культуры пронизывают всё, что она порождает, в том числе и математику. В математике каждой культуры можно видеть символы её искусства, в искусстве – символы её математики. Так, например, Пифагор толковал число как принцип мироустройства осязаемых вещей, меры и величины. Шпенглер утверждает: стиль души проявляется в мире чисел. Из этого он делает следующий вывод:” Число в себе не существует и не может существовать. Существует несколько миров чисел, потому что существует несколько культур. Мы встречаем индийский, арабский, античный, западноевропейский числовой тип, каждый по своей сущности совершенно своеобразный и единственный, каждый являющийся выражением совершенно особого мирочувствования, символом отграниченной значимости, также и в научном отношении принципом распорядка ставшего, в котором отражается глубокая сущность именно этой, и никакой другой души, той, которая является центральным пунктом как раз соответствующей, и никакой другой культуры. Таким образом существует несколько математик. Несомненно, архитектоническая система эвклидовой геометрии совершенно отличается от картезианской, анализ Архимеда нечто совершенно иное, чем анализ Гаусса, не только по языку форм, целям и приемам, но по своей сути, по первоначальному феномену числа.”

Числа – это творческие сущности, они предшествуют рассудочному уму в каждой из культур:”Ум может привести к научному раскрытию формальных возможностей, может применять их и достигать высочайшей зрелости в их применении; но изменить их он не в силах.”

Античная математика обнаружила тенденцию к геометрическому толкованию всего числимого. Этому соответствует тенденция плоской живописи аттическо-коринфского стиля к полной пластике через промежуточную стадию рельефа. Аналогично Шпенглер пишет и о западной культуре и математике. Античная математика умерла. Также Шпенглер предрекает смерть западной математики. Античное мышление могло видеть в математике только учение о соотношении величин, мер и форм физических тел. Античные числа – это числа положительные и целые. Иррациональность была величиной, а не числом. Согласно позднегреческому мифу, тот, кто извлёк рассмотрение иррациональности из сокровенности и предал его гласности, погиб при кораблекрушении, “так как невысказываемое и безобразное должно оставаться сокровенным.” Страх перед иррациональным, стремление к гармонии, ограничивали античную математику. Античная математика только представителями других культур кажется незаконченной: внутренне она была завершённой.

Основная идея западной математики – стремление к бесконечному. Это борьба против понятия величины. Целочисленная сиепень обобщается на дробную и комплексную, круговые функции получают обращение в теории функций комплексного переменного (ТФКП), появляется логарифм, гамма-функция Эйлера заменяет факториал. Вершиной развития западной математики Шпенглер называл ТФКП, вершиной иллюстрации западных идей – теория групп и топология.

Анализируя математику, сопоставляя её с искусствами, Шпенглер делает вывод о том, что исходным пунктом всякого создания форм в античности было приведение в порядок ставшего, поскольку оно является чувственым, наличным, осязаемым, измеримым, исчисляемым. Западное чувство формы выбрало образ бесконечного пространства, которое полностью отсутствовало у греков. Для античного ума было само собой разумеющимся расссмотрение исключительно близкого и малого, как само собой понятно для Запада рассмотрение бесконечного, выходящего за пределы видимого глазом. В глазах Платона современная математика – безумие. Теоремы о подобии у Евклида доказываются через наличие соотношения 1:1, а в современной математике для этого используется ТФКП.

Западное мышление освободило геометрию от наглядности, арифметику от величины. В конечном итоге Шпенглер приходит к выводу о том, что западная математика себя истощила.