Расчет балки-стенки по технической теории изгиба

Рассмотрим вопросы получения элементарного решения сопро­тивления материалов для изгибаемой балки с гармонической наг­рузкой. При использовании гипотез сопротивления материалов балка заменяется ее осью (рис. 12).

Рис. 12

Дифференциальное уравнение изгиба балки принимает вид:

, (37)

а граничные условия шарнирного опирания балки слева и справа будут:

(38)

19

Если взять аналитическое выражение для функции прогиба балки в виде:

(39)

то оно будет удовлетворять как граничным условиям (38), так и характеру распределения поперечной нагрузки, рис. 12.

Мож­но показать, что (39) является точным решением задачи изгиба балки при использовании гипотез сопротивления материалов, если балка оперта по концам шарнирно, а поперечная нагрузка представляет собой один из членов разложения произвольной нагрузки в ряд по синусам (9) .

Если же хотя бы на одном краю балки реализуется иное опорное закрепление (защемление, ползун, свободный край), то функция (39) не будет являться решением для балки.

Для определения величины постоянной А в решении (39), являющейся амплитудой прогиба балки, подставляем (39) в уравнение (37) и в результате получаем:

(40)

откуда находим величину и окончательное выражение для прогиба балки в виде:

. (41)

Внутренние силовые факторы в балке вычисляются по известным формулам:

(42)

Напряжения в заданном сечении балки определяются формулами:

. (43)

где b – ширина балки-стенки, , .

Наибольшее нормальное напряжение при соответствует сечению и реализуется в крайних волокнах балки-стенки при , тогда:

. (48)

20

Наибольшее касательное напряжение по технической теории изгиба соответствует y=0, тогда:

. (49)

Например, для балки (рис. 12) с параметрами L=10 м, h=4,5 м, m=2, получаем:

Расчет балки стенки по методу Фурье дает при , L=10 м, h=4,5 м эпюры, показанные на рис. 13 сплошными линиями.

Пунктирными линиями на рис. 13 показано решение, полученное по технической теории изгиба балок.

Рис. 13

Сопоставление точного и приближенного решения показывает, что

для значения h/L =0,45 формулы сопротивления материалов дают неприемлемо низкую точность:

1. экстремальные величины напряжений различаются в 1,67

раза, причем расчет по технической теории изгиба балок дает решение не в запас прочности,

2. экстремальная величина напряжения составляет 79,7% от

, а по технической теории изгиба величиной пренебрегают.

21

Для установления пределов применимости решения по техни­ческой теории изгиба балок Навье проводим для балки-стенки численные экспе­рименты при различных величинах отношения h/L для нагрузки с рис. 12, действующей по верхней грани. Результаты приведены в табл. 5, причем обозначение "т.у." относятся к решениям по методу Фурье, а обозначения "с.м." являются указателем данных по технической теории изгиба балок.

Таблица 5

h/L
1/4	2,5560	-2,7446	2,4317	0,9339	0,9549
1/5	3,9493	-4,0739	3,7995	1,1772	1,1937
1/6	5,6358	-5,7238	5,4713	1,4189	1,4324

Получено что для соотношения h/L=1/5 погрешности вычисления напряжения по технической теории изгиба достаточно велики: по величине 3,94%, по величине 7,22%.

Для уточнения вопроса о пределах применимости решения по технической теории изгиба балок рассматриваем балку-стенку с нагрузкой на верхней грани при различных соотношениях h/L. Результаты сведены в табл. 6 с сохра­нением обозначений, использованных в табл. 5.

Таблица 6

h/L
1/2	2,556	-2,7446	2,4317	0,9339	0,9549
1/3	5,636	-5,7238	5,4713	1,4189	1,4324
1/4	9,906	-9,957	9,727	1,900	I,9099
1/5	15,385	-I5,417	15,198	2,379	2,3873
1/6	22,076	-22,099	21,855	2,858	2,8648

Данные табл. 6 убедительно свидетельствуют о значительно более высокой степени соответствия результатов по методу Фурье и по

технической теории изгиба для нагрузки вида . Действительно, уже при соотношении h/L=1/3 погрешности определения со-

22

ставляют лишь 4,82%, а 0,95%. В основе данного факта лежит следующее обстоятельство: для нагрузок вида длина балки-стенки фактичес­ки делится на m равных частей, в пределах каждой из которых повторяется гармоническое решение, это наглядно видно из сов­падения в первой строке табл. 5, когда m = 2, h/L =1/4, и в первой строке табл. 6, когда m = I, h /L = 1/2.

Очевидно, что при делении длины балки-стенки L на m час­тей исходное соотношение h/L фактически возрастает в m раз, что и определяет понижение точности приближенного реше­ния задачи по технической теории изгиба балок.

Заметим, что окончательное решение вопроса о пределах при­менимости решений по технической теории изгиба балок может быть получено лишь при удержании достаточного числа членов ряда Фурье, необходимого для аппроксимации исходной нагрузки, действующей на балку-стенку. Такие исследования проведены в следующем разделе методических указаний как для равномерных, так и для кусочно-постоянных нагрузок .

Известен факт, что при использовании гипотез сопротивле­ния материалов пренебрегают величиной нормальных напряжений по сравнению с величиной . Так как при действии на поверхность балки-стенки нагрузки вида имеем , то появляется

возможность вычисления соотношения при изменении величины L/h. Результаты просчитывались для балки-стенки c рис. 9 и сведены в табл. 7.

Таблица 7

L/h	0,5	1	2	3	4	5	6	7	8
	1,0	1,16	2,74	5,72	9,96	15,4	22,1	30,0	39,1

Данные табл. 7 подтверждают гипотезу сопротивления матери­алов, что для сравнительно длинных балок с соотношением L/h 6 можно пренебречь величиной напряжения по сравнению с величиной напряжения . Подчеркнем, что погрешности пренебреже­ния величиной составляют при L/h=6 менее 5% и про­должают убывать с увеличением соотношения L/h.

Отметим, что формулы (18) и (23) поддаются элементарному программированию. В приложении 2 к методическим указаниям при­ведена схема алгоритма вычисления величин из (23) и построения эпюр напряжений по формулам (18).

23