Для контурных значений на левой, правой и нижней грани из равенства следует , для верхней грани балки-стенки, рис. 5,а,

из формулы (14) непосредственно следует

(19)

Далее с непосредственным использованием формулы (8) записывается конечно-разностный аналог бигармонического уравнения для всех внутренних узлов сетки с индексами

Следует помнить, что в матрице А коэффициентов при неизвестных

системы линейных алгебраических уравнений МКР на главной диагонали должны быть ненулевые значения, что определяет строгий порядок записи уравнений МКР.

Для сетки с рис. 5,б рассматриваемого примера расчета балки-стенки

необходимо определение 7*7=49 значений . При этом СЛАУ из 49 уравнений МКР составляется из следующих уравнений:

1) четырех уравнений (законтурные значения в угловых точках сетки),

2) десяти уравнений

(из граничных условий на левой кромке балки-стенки),

3) десяти уравнений

(из граничных условий на правой кромке балки-стенки),

4) десяти уравнений

(из граничных условий на верхней кромке балки-стенки),

5) десяти уравнений

(из граничных условий на нижней кромке балки-стенки),

6) девяти конечно-разностных уравнений (8) для

(бигармонические уравнения для внутренних узлов сетки).

Заметим, что равенства следуют и из уравнений групп 2 и 3, и из уравнений групп 4 и 5. В связи с этим исключаем четыре упомянутых уравнения из системы 4+10+10+10+10+9=54 уравнений и получаем разрешающую систему 49 уравнений МКР, при решении которой определяются 49 искомых узловых значений .

В табл. 1 приведены результаты расчета МКР балки-стенки с h=L ,

рис. 5,а, для различного числа деления сеткой высоты h и длины L в виде значений (в долях q) напряжений , ,

, x=L/2 Таблица 1

N Y	4*4	8*8	16*16	32*32	Данные
-h/2	-0.3103	-0.2729	-0.2677	-0.2683	-0.284
-h/4	-0.2515	-0.2701	-0.2751	-0.2766	---
0	-0.3021	-0.4070	-0.4452	-0.4451	-0.369
h/4	-0.0207	-0.0175	-0.0025	0.0061	---
h/2	1.4589	1.9703	2.0156	1.0098	1.840

, x=L/2

N Y	4*4	8*8	16*16	32*32	Данные
-h/2	-1.0	-1.0	-1.0	-1.0	---
-h/4	-0.8699	-0.8561	-0.8526	-0.8518	---
0	-0.5799	-0.4859	-0.4465	-0.4357	-0.518
h/4	-0.1776	0.0003	0.0606	0.0717	---
h/2	0	0	0	0	---

, x=L/4

N Y	4*4	8*8	16*16	32*32	Данные
-h/4	0.1404	0.1734	0.1833	0.1858	---
0	0.2788	0.3875	0.4429	0.4586	---
h/4	0.3596	0.4383	0.4947	0.5116	---

В крайнем правом столбце табл. 1 приведены результаты , полученные МКР на сетке 6*6.

Анализ данных табл. 1 свидетельствует, что результаты МКР на сетке 8*8 дают по погрешность лишь в 1.98 % по сравнению с весьма точным решением на сетке 32*32. Отметим, что результаты на сетке 8*8 могут быть получены с использованием программ для ПЭВМ на любых известных языках программирования, в том числе на языке PASCAL 7.0, имеющемся в любом дисплейном классе СГТУ, при этом время счета на ПЭВМ незначительно.

Погрешность по величине , x=L/4 на сетке 8*8 существенно выше и составляет 15%, но ввиду малости по сравнению с вновь можно считать решение на сетке 8*8 приемлемым по точности.

Следует отметить, что отношение / составляет 0.51, то есть при расчете балок с высокой стенкой необходимо учитывать величину напряжения .

На рис. 7 сплошной линией приведены эпюры , , , полученные МКР на сетке 8*8, пунктиром приведены эпюры, полученные с использованием технической теории изгиба балок Навье (сопротивление материалов).

Рис. 7

При расчете по теории Навье использованы формулы

(20)

Сопоставление данных МКР и результатов сопротивления материалов показывает, что величины различаются в 2.63 раза. Таким образом,

использование приближенной теории изгиба для балок с высокой стенкой

приводит к получению качественно неверных результатов, что недопустимо в расчетной практике.

В заключение раздела приводим формулы для изгибающих моментов М и продольных сил в эквивалентной раме, загруженной равномерным давлением q на части длины верхнего стержня, рис. 8.

Рис. 8

Опорные реакции по концам верхнего стержня рамы и моменты равны

(21)

Продольные силы в левом и правом стержнях эквивалентной рамы будут

(22)

По формулам (21), (22) учитываются распределенные нагрузки на верхней грани балки-стенки. Если нагрузка q действует на нижней грани балки-стенки, то для левого, верхнего и правого стержня эквивалентной рамы будет М=0, N=0, а для нижнего стержня с учетом правила знаков в «рамной» аналогии, приведенного после рис. 4, будет , причем выражение для дано в формуле (21).

Отметим, что по изложенной выше методике МКР решаются задачи расчета балок-стенок, опертых в крайних сечениях нижней грани. Если же рассмотреть реальный случай опирания балок-стенок по крайним площадкам нижней грани, имеющим конечную длину, то становится необходимой коррекция расчетных формул МКР, что и продемонстрировано в следующем разделе указаний.

РАСЧЕТ БАЛОК-СТЕНОК, ОПЕРТЫХ ПО КРАЙНИМ ПЛОЩАДКАМ,

НА ДЕЙСТВИЕ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ НАГРУЗОК

Рассмотрим расчет балки-стенки, приведенной на рис. 9, и нагруженной распределенной нагрузкой q на части нижней поверхности. Балка-стенка опирается по площадкам длиной по краям нижней грани.

Рис. 9

Сетка узлов будет аналогичной сетке с рис. 5,б. Будем считать распределенные опорные давления и постоянными по длине .

Для эквивалентной рамы ввиду отсутствия нагрузки на верхнем стержне изгибающие моменты и продольные силы в левом, верхнем и нижнем стержне отсутствуют

(23)

Для нижнего стержня рамы равнодействующие опорных давлений проходят на расстоянии от краев балки-стенки, поэтому с учетом правила знаков «рамной» аналогии необходимо использовать формулы

(24)

Величина по (24) с точностью до знака совпадает с выражением изгибающего момента в обычной шарнирно опертой по краям балке, загруженной распределенными нагрузками , рис. 9,б.

В результате записи системы конечно-разностных уравнений для сетки МКР, идентичной сетке с рис. 5,б, получаем:

1) четыре уравнения (законтурные значения в угловых точках сетки),

2) десять уравнений

(из граничных условий на левой кромке балки-стенки),

3) десять уравнений

(из граничных условий на правой кромке балки-стенки),

4) десять уравнений

(из граничных условий на верхней кромке балки-стенки),

5) десять уравнений

(из граничных условий на нижней кромке балки-стенки), причем М(х) определяется по формулам (24),

6) девять конечно-разностных уравнений (8) для

(бигармонические уравнения для внутренних узлов сетки).

Заметим, что равенства следуют и из уравнений групп 2 и 3, и из уравнений групп 4 и 5. В связи с этим исключаем четыре упомянутых уравнения из системы 4+10+10+10+10+9=54 уравнений и получаем разрешающую систему 49 уравнений МКР, при решении которой определяются 49 искомых узловых значений .

В табл. 2 приведены результаты расчета балки-стенки, рис. 9,а, при

для различного числа участков

разбиения длины и высоты балки-стенки в виде значений (в долях ) напряжений , ,

Анализ данных табл. 2 свидетельствует, что сходимость МКР при действии распределенной нагрузки, занимающей половину длины нижней грани балки-стенки, несколько ухудшается по сравнению со сходимостью для задачи с рис. 5,а при Однако результаты на сетке 8*8 дают по величине погрешность лишь в 6.2% по сравнению с весьма точным решением на сетке МКР 32*32.

, x=L/2 Таблица 2

N Y	4*4	8*8	16*16	32*32	64*64
-h/2	-0.2019	-0.1877	-0.1879	-0.1886	-0.1889
-h/4	-0.1627	-0.1756	-0.1802	-0.1814	-0.1817
0	-0.2047	-0.2639	-0.2858	-0.2919	-0.2935
h/4	-0.0486	-0.0491	-0.0429	-0.0401	-0.0392
h/2	1.0340	1.4612	1.5494	1.5536	1.5534

, x=L/2

N Y	4*4	8*8	16*16	32*32	64*64
-h/2	0	0	0	0	0
-h/4	0.0903	0.0982	0.1007	0.1012	0.1013
0	0.3008	0.3583	0.3820	0.3886	0.3903
h/4	0.6493	0.7814	0.8306	0.8428	0.8458
h/2	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0

, x=L/4

N Y	4*4	8*8	16*16	32*32	64*64
-h/4	0.0912	0.1160	0.1238	0.1257	0.1262
0	0.1830	0.2613	0.2936	0.3028	0.3052
h/4	0.2463	0.3748	0.4261	0.4397	0.4431

Погрешность по величине на сетке 8*8 составляет 16%, что практически совпадает с погрешностью из табл. 1.

Снова следует отметить, что отношение / составляет 0.68, то есть при расчете балок с высокой стенкой необходимо учитывать величину напряжения

На рис. 10 сплошной линией приведены эпюры , , , полученные МКР на сетке 8*8, пунктиром приведены эпюры, полученные с использованием технической теории изгиба балок Навье (сопротивление материалов).

При использовании формул сопротивления материалов вычислено

Рис. 10

Сопоставление данных МКР и результатов сопротивления материалов показывает, что величины различаются в 2.89 раза. Таким образом, при использовании приближенной теории изгиба для балок с высокой стенкой получаются качественно неверные результаты.

Отметим в заключение, что учет реальной протяженности опорных площадок балки-стенки позволяет получить для нее уточненное решение. Действительно, введение в расчетную схему идеальных шарнирных опор, когда опорные реакции являются сосредоточенными силами, весьма успешно применяется в сопротивлении материалов, при этом не учитывается концентрация напряжений и связанные с ней последствия. В реальном проектировании балок всегда имеются площадки конечной величины, по которым на балку передается реальная активная нагрузка и реактивные опорные давления. В следующем разделе указаний рассмотрены аспекты учета данных реалий проектирования балок.

РАСЧЕТ БАЛОК-СТЕНОК, ОПЕРТЫХ В КРАЙНИХ СЕЧЕНИЯХ,

НА ДЕЙСТВИЕ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ СИЛ

Следует отметить, что сосредоточенная сила является явной идеализацией. При действии силы по площадке бесконечно малых размеров контактные напряжения равны бесконечности, что теоретически соответствует разрушению материала балки в зоне сосредоточенного воздействия. В связи с этим несомненно, что должна быть рассчитана реальная протяженность площадки, по которой передается давление. Для детального рассмотрения этого вопроса переходим к расчету балки-стенки, рис. 11,а, нагруженной сосредоточенной силой Р в середине верхней грани. Рассматриваем опирание балки на концевые идеальные шарнирные опоры.

Рис. 11