Цель работы
Объектом исследования является метод расчета балок-стенок в напряжениях с использованием метода конечных разностей.
В процессе выполнения работы:
изучается методика записи бигармонического уравнения плоской задачи теории упругости и граничных условий в виде конечно-разностных аналогов;
изучается методика правильного заполнения матрицы системы конечно-разностных уравнений;
изучается вопросы использования рамной аналогии при расчете балок-стенок;
изучаются вопросы расчета МКР балок-стенок на действие распределенных нагрузок и сосредоточенных сил;
изучаются вопросы расчета балок-стенок с учетом реальной протяженности опорных площадок;
изучаются вопросы сходимости решений МКР при уменьшении шага сетки и получения решения задачи с заданной точностью при действии нагрузок произвольного вида;
изучаются вопросы сопоставления решения МКР и приближенного решения на основе технической теории изгиба Навье.
Задание на работу
Для балки-стенки, изображенной на рис. 1,
Рис.1
с
заданными нагрузками
,
,
,
и
заданным соотношением h/L
требуется:
1. Записать бигармоническое уравнение и граничные условия задачи.
2. С использованием рамной аналогии записать выражения для изгибающего момента М и продольной силы N в эквивалентной раме.
3. Записать бигармоническое уравнение и граничные условия c использованием конечно-разностных аналогов.
4. Решить задачу на действие распределенной нагрузки по программе для ПЭВМ для идеализированных опорных закреплений и для опирания по площадкам.
5. Решить на ПЭВМ задачу на действие сосредоточенной силы для двух вариантов учета опорных закреплений.
6. Построить в заданных сечениях балки-стенки эпюры , и
для четырех вариантов расчета.
7. Рассчитать балку-стенку на основе технической теории изгиба балок и сопоставить полученное решение с результатами расчета МКР.
Теоретическая часть
Основные уравнения для плоской задачи теории упругости получаются из уравнений для объемной задачи [1, 2] путем исключения из них производных по координате Z.
Если решать плоскую задачу в напряжениях , , , то получается разрешающая система из трех уравнений:
уравнения равновесия в проекции на ось 0Х,
уравнения равновесия в проекции на ось 0У,
3) уравнения неразрывности деформаций, записанного через напряжения и имеющего вид
,
(1)
где
-
гармонический оператор Лапласа
.
(2)
В
систему разрешающих уравнений не входят
константы упругости Е и
,
то есть
напряжения
,
,
не зависят от
упругих свойств изотропного линейно-упругого
материала (теорема Леви).
Решение
задачи в напряжениях упрощается путем
перехода к функции напряжений Эри
,
связанной с напряжениями формулами [1]
,
(3)
где X, Y – объемные силы, х, у- декартовы координаты.
При этом уравнения равновесия обращаются в тождества, а уравнение неразрывности деформаций принимает вид
.
(4)
Уравнение (4) называется бигармоническим уравнением для плоской задачи теории упругости. Заметим, что при отсутствии объемных сил выражение для касательного напряжения будет
.
(5)
Уравнение (4) является однородным дифференциальным уравнением четвертого порядка в частных производных. В связи с этим для решения конкретной задачи в каждой точке границы (контура) балки-стенки необходимо задать по два краевых условия
,
(6)
выражающих равенство на контуре внутренних напряжений и внешних нормальных и касательных к контуру нагрузок.
Из этого следует, что как распределенные нагрузки , , так и сосредоточенные силы , должны быть известны как по величине, так и по месту приложения к поверхности балки-стенки, рис. 1.
В практике проектирования балок-стенок данные нагрузки имеют самый разнообразный характер, что определяется как способами нагружения балок-стенок, так и взаимодействием их с опорами и соседними частями конструкции. Зачастую данные нагрузки носят явно выраженный локальный характер, что вызывает значительные трудности при представлении их конечными отрезками функциональных рядов.
Переходим
поэтому к изложению методики получения
решения задач изгиба балки-стенки,
основанной на использовании одного из
универсальных численных методов расчета-
метода конечных разностей
.
Суть метода конечных разностей (МКР) в применении к расчету балки-стенки состоит в замене бигармонического уравнения (4) и граничных условий (6), выраженных через вторые производные функции Эри ,
конечно-разностными алгебраическими уравнениями. В результате задача сразу сводится к решению системы алгебраических уравнений с неизвестными значениями функции в отдельных точках балки-стенки.
Для
двумерной области при использовании
МКР
вводится ортогональная сетка линий с
шагами
по Х
и
по У,
рис. 2.
Рис. 2
Именно
поэтому МКР
называют
иногда методом сеток. Очевидно, что при
уменьшении величин шагов
и
возрастает число искомых величин функций
в узлах сетки
,
рис. 2, и, соответственно, точность
получаемого по МКР
решения. При этом, однако, повышается
порядок решаемой системы линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ),
поэтому необходим рациональный выбор
шагов сетки
и
.
Главным в МКР является представление производных функции Эри
конечно-разностными соотношениями (аналогами).
При
замене производных конечно-разностными
аналогами в «центральных» разностях
используются формулы
,
рис. 2
|
|
|
|
|
|
,
,
(7)
,
,
,
,
,
.
Графическое изображение первой, второй и четвертой производной функции Эри по координате Х приведено в первой строке (7).
С использованием формул (7) дифференциальный оператор в (4) заменяется конечно-разностными соотношениями в узлах сетки , для
узла
данное соотношение будет
(8)
Таким же образом заменяются конечно-разностными аналогами и дифференциальные операторы, входящие в граничные условия для балки-стенки.
Необходимо подчеркнуть, что уравнение (8) записывается для внутренних узлов балки-стенки. При записи (8) для узлов, расположенных внутри контура на расстоянии или от границы, в уравнение (8) войдут значения функции в законтурных узлах сетки, расположенных
на расстоянии или от контура (законтурные значения).
При записи граничных условий (6) на сторонах контура балки-стенки
законтурные значения функции также входят в данные соотношения. Например, на верхней кромке балки-стенки с координатой У=-h/2 граничные условия будут, рис. 3
Рис. 3
(9)
Значения
,
в (9) являются законтурными и должны быть
найдены.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАМНОЙ АНАЛОГИИ
ПРИ РАСЧЕТЕ БАЛОК-СТЕНОК
Весьма эффективным способом поиска законтурных значений функции Эри является так называемая рамная аналогия, разработанная
проф.
П.Л.Пастернаком, проф. П.М.Варваком, проф.
А.П.Синицким
.
Данный прием позволяет весьма просто находить значения функции в точках контура балки-стенки и в законтурных точках в зависимости от заданной внешней нагрузки. При этом в контурных точках определяется непосредственно, а для законтурных точек выражается через для внутриконтурных точек.
Граничные условия (6) для балки-стенки можно записать в виде
(10)
где
составляющие внешней нагрузки
соответственно по нормали
(положительное направление- к балке-стенке) и по касательной к контуру
балки-стенки,
а индекс «к» указывает, что величины
и
берутся в
точке «к» контура.
Придадим
равенствам (10) наглядный механический
смысл. Рассмотрим раму, совпадающую по
очертанию с контуром балки-стенки, и
загруженную той же нагрузкой
и
.
Условия равновесия элемента
такой рамы дают соотношения
(11)
При сравнении (10) и (11) устанавливаем, что условия (10) будут удовлетворяться, если в качестве функции и ее производной на
контуре балки-стенки, рис. 4,а, принять соответственно выражения изгибающих моментов М и продольных сил N в раме, рис. 4,б,в, а именно
(12)
Равенства (12) и выражают рассматриваемую рамную аналогию.
В дальнейшем называем вводимую фиктивную раму эквивалентной рамой.
Правила знаков для формул (12) следующие: если ординаты эпюры М,
откладываемые
со стороны растянутого волокна,
расположены внутри контура балки-стенки,
то
>0,
и наоборот. Как обычно, считаем
положительной растягивающую продольную
силу, то есть
если
-
растягивающая сила, и наоборот.
Рис. 4
Для
точки «к» на контуре балки-стенки, рис.
4,а, значение
берется по эпюре изгибающих моментов
в эквивалентной раме. Ордината
,
рис. 4,а, определяется из равенства
(13)
Таким образом, для поиска значений в точках контура используется равенство , законтурные значения записываются через внутриконтурные значения на основании формул типа (13), а для последовательности узлов сетки МКР внутри контура балки-стенки составляются уравнения (8), что в суммарном итоге дает разрешающую систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно всех узловых значений (внутри контура, контурные, законтурные первого ряда).
После решения СЛАУ получаем числовые значения во всех узлах сетки, после чего становится возможным определение узловых значений
напряжений
,
,
по формулам (3),
(5).
Переходим к рассмотрению особенностей расчета конкретных балок-стенок.
РАСЧЕТ БАЛОК-СТЕНОК, ОПЕРТЫХ В КРАЙНИХ СЕЧЕНИЯХ,
НА ДЕЙСТВИЕ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ НАГРУЗОК
Рассмотрим расчет балки-стенки, приведенной на рис. 5,а, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q по верхней кромке, при опорных реакциях, сосредоточенных в нижних угловых точках.
Рис. 5
Сетка
узлов
, где 4- число участков разбиения длины
L
и высоты h
балки-стенки, и нумерация законтурных,
контурных и внутриконтурных узлов сетки
приведена на рис. 5,б. Если принять для
расчета сетку
,
то общее
число узлов составит
,
а порядковый номер
конкретного узла и номер уравнения МКР
для конкретной точки с индексами i,j
будет
На рис. 6 изображены эпюры изгибающих моментов М и продольных сил N в эквивалентной раме, совпадающей по очертанию с контуром балки-стенки с рис. 5,а.
Рис. 6
Формулы для М в верхнем стержне рамы и для N в боковых стержнях будут
(14)
Так
как в верхнем и нижнем стержне рамы
то на основе формулы
(13) получаем равенства соответствующих
законтурных и внутриконтурных значений
для сторон Y=-h/2
и Y=h/2
балки-стенки
.
(15)
Для
левых законтурных узлов с номерами
из равенства (13), где «в»- индекс правого
(внутриконтурного) узла, а «a»-
индекс левого (законтурного) узла,
находим
(16)
Для
правых законтурных узлов с номерами
из того же равенства (13), где теперь «в»-
индекс законтурного (правого) узла, а
«а»- индекс внутриконтурного (левого) узла находим
(17)
Так как во всех угловых точках балки-стенки величина касательного напряжения заведомо равна нулю, то значения функции Эри для угловых законтурных узлов сетки МКР, рис. 5,б, можно взять произвольными, положив, например, их равными нулю, а именно
(18)