Тема 6.7. Лабораторная работа «Методы оптимизации функций нескольких переменных»

1. Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задачи многомерной оптимизации.

2. Основные понятия: выпуклое множество, целевая функция, линия уровня, градиент, локальный и глобальный минимум.

3. Градиентные методы: метод с дроблением шага, метод наискорейшего спуска аналитический, метод наискорейшего спуска численный.

4. Средства MathCad для вычисления значений частных производных для функции нескольких переменных, а также для вычисления определителя и угловых миноров.

5. «Расчет средствами MatCad» координат точки экстремума многомерной функции с использованием функций Minimize и Minеrr.

6. Средства пакета MathCad для построения трехмерных графиков, графиков линий уровней и траектории спуска.

2. Задание

1. Выбрать индивидуальное задание по номеру варианта из табл. 6.7-1 - функцию f(x,y).

2. Проверить условия существования точки минимума для заданной функции f(x.y).

3. Провести «ручной расчет» по вычислению координат точки минимума функции f(x,y) аналитическим методом.

4. Выбрать начальную точку (x₀, y₀) для применения метода наискорейшего спуска.

5. Выполнить «ручной расчет» 3-х итераций аналитическим методом наискорейшего спуска. Результаты расчета свести в таблицу

k	x	y	λ	g1	g2	f(x,y)
1
2
3
4

6. Вычислить следующие погрешности после трех итераций:

где x*, y* - координаты точки минимума, найденные аналитическим методом, а f*=f(x*,y*) - значение исследуемой функции в точке минимума.

7. Решить задачу оптимизации «расчетом средствами MathCad» с использованием встроенных функций Minimize и Minerr.

8. Построить трехмерный график функции f(x,y).

9. Построить график линий уровня функции f(x,y) и траекторию спуска по результатам 3-х итераций ручного расчета, изобразив схематически линии уровня, проходящие через точки траектории. На графике указать точку минимума, найденную в п.3.

3. Варианты задания

Таблица 6.7-1

№	Функция	№	Функция
1	2 x2 + 3 y2 – 5 x + 6	16	6 x2 + 4 y2 – 5 x + 3 y –13
2	x2 + 2 y2 – 3 y + 7	17	5 x2 + y2 + x
3	3 x2 + y2 – 15	18	x2 + 4 y2 – 2 x + 3 y + 5
4	3 x2 + 5 y2 + x – 2	19	2 x2 + 5 y2 + 2 y + 3
5	2 x2 + 3 y2 + 2 x – 3 y	20	x2 + 3 y2 – x + 2 y + 7
6	5 x2 + 2 y2 + 3 x + 10	21	3 x2 + y2 – y + 3
7	4 x2 + 3 y2 – 3 y – 7	22	6 x2 + 3 y2 + 10
8	5 x2 + 6 y2 + 3 x – 2 y + 3	23	5 x2 + 4 y2 – 4 x – 11
9	3 x2 + y2 + - 3 x + y – 2	24	x2 + 2 y2 – x – y
10	6 x2 + 5 y2 – 10	25	3 x2 + 2 y2 – 5 y + 1
11	5 x2 + 2 y2 – 2 x	26	3 x2 + 4 y2 – 2 x + 3 y – 5
12	x2 + 2 y2 – 3 x + 5 y + 1	27	4 x2 + 5 y2 + 2 x – 4 y + 12
13	x2 + 4 y2 – 2 x	28	6 x2 + 3 y2 – 4 x + 17
14	4 x2 + 3 y2 + y + 3	29	x2 + 5 y2 – x + 2 y + 10
15	3 x2 + y2 + 3	30	3 x2 + y2 – 10