3. Характеризующие внутреннюю структуру совокупности:

- среднее квадратическое отклонение а (сигма малая)

- коэффициент вариации (Cv).

5. 3.1 Критерии, характеризующие границы совокупности (лимит, амплитуда)

Лимит (Lim) определяется крайними значениями вариант в вариаци­онном ряду: Lim=Vmin-Vmax

Амплитуда (Am) — разность крайних вариант (разность между наи­большей и наименьшей вариантами):

Am = Vmax – Vmin

Лимит и амплитуда дают определенную информацию о степени раз­нообразия ряда, однако они не являются достаточно удовлетворительной мерой вариабельности, т. к. основываются только на крайних наблюдениях и не учитывают все распределение наблюдений вокруг средней в целом. Лимит и амплитуда не позволяют получить информацию о разнообразии признака в совокупности с учетом ее внутренней структуры.

5.3.2 Критерии, характеризующие внутреннюю структуру совокупности

Наиболее полную характеристику разнообразию признака в совокуп­ности дает среднее квадратическое отклонение, обозначаемое греческой буквой  (сигма малая).

5.3.2.1 Расчет среднеквадратического отклонения

Среднее квадратическое отклонение характеризует среднее отклоне­ние всех вариант вариационного ряда от средней арифметической величины.

Существует три способа расчета среднего квадратического отклоне­ния: среднеарифметический, способом моментов и по амплитуде.

Возвратимся к нашему примеру.

1) При среднеарифметическом способе расчета применяется формула:

 =

d — отклонение отдельных вариант от средней арифметической (V-M)

р — частота

n — число наблюдений (при числе наблюдений менее 30, в знамена­тель необходимо взять n—1).

Порядок вычисления среднего квадратического отклонения представ­лен в таблице

Частота пульса V	Р	d (V - М) М = 72,3	d2	d2p
60	1	-12,3	151,29	151,29
62	2	-10,3	106,09	212,18
64	3	-8,3	68,89	206,67
66	3	-6,3	39,69	119,07
68	3	-4,3	18,49	55,47
70	9	-2,3	5,29	47,61
72	6	-0,3	0,09	0,54
74	7	1,7	2,89	20,23
76	11	3,7	13,69	150,59
78	5	5,7	32,49	162,45
80	4	7,7	59,29	237,16

n =54 ∑ 1363,26

 =

54

Среднее квадратическое отклонение, также как и среднюю арифмети­ческую, можно рассчитать более простым способом, а именно способом моментов по формуле:

 = √	∑d2p	-	∑(dp)2
	n		n2

где d - отклонение каждой варианты от условной средней (V-A).

Порядок вычисления среднего квадратического отклонения представ­лен в таблице (за условную среднюю принимаем М₀ = 76 ударам в минуту).

Частота пульса V	D(V-A) А=76	d	dp	d2	d2p
60	1	-16	-16	256	256
62	2	-14	-28	196	392
64	3	-12	-36	144	432
66	3	-10	-30	100	300
68	3	-8	-24	64	192
70	9	-6	-54	36	324
72	6	-4	-24	16	96
74	7	-2	-14	4	28
76	11	0	0	0	0
78	5	2	10	4	20
80	4	4	16	16	64
N = 54 ∑ = -200 ∑ = 2104

 = √	∑d2p	-	∑d2p2	= √	2104	-	-2002	= √25,2	≈ 5,0
	n		n2		54		542

Результаты вычисления среднего квадратического отклонения средне­арифметическим способом и способом моментов идентичны. Однако, как указывалось выше, второй способ значительно убыстряет и упрощает рас­четы. Если отсутствуют необходимые исходные данные для вычисления среднего квадратического отклонения обычным путем, может быть ис­пользован приближенный способ вычисления среднего квадратического отклонения по амплитуде вариационного ряда.

Среднее квадратическое отклонение, вычисленное по амплитуде, не­сколько отличается по величине от о, вычисленной обычными способами. Различие это тем больше, чем больше число наблюдений, использованных для составления вариационного ряда. Поэтому определение среднего квад­ратического отклонения по амплитуде более целесообразно производить преимущественно при ориентировочных расчетах.

Вычисление производится по формуле:

 =	Am	=	Vmax-Vmin
	k		k

Am — амплитуда

k — коэффициент, соответствующий числу наблюдений (определяет­ся по специальной таблице, в нашем примере при n=54 коэффициент равен 4,56)

 =	80-60	=	20	≈ 4,4
	4,56		4,56

Значения и для вычисления среднего квадратического отклонения () по амплитуде

N	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	-	-	1,13	1,69	2,06	2,33	2,53	2,70	2,85	2,97
10	3,08	3,17	3,26	3,34	3,41	3,47	3,53	3,59	3,64	3.69
20	3,73	3,78	3,82	3,86	3,90	3,93	3,96	4,00	4,03	4,06
30	4,09	4,11	4,14	4,16	4,19	4,21	4,24	4,26	4,28	4,30
40	4,32	4,34	4,36	4,38	4,40	4,42	4,43	4,45	4,47	4,48 4,48
50	4,50	4,51	4,53	4,54	4,56	4,57	4,59	4,60	4,61	4,63
60	4,64	4,65	4,66	4,68	4,69	4.70	4,71	4,72	4,73	4,74
70	4,75	4,77	4,78	4,79 1	4,80П	4,81	4,82	4,83	4,83	4,84
80	4,85	4,86	4,87	4,88	4,89	4,90	4,91	4,91	4,92	4,93
90	4,94	4,95	4,96	4,96	4,97	4,98	4,99	4,99	5,00	5,01
N	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000
К	5,02	5,49	5,76	5,94	6,07	6,18	6,28	6,35	6,42	6,48

Среднее квадратическое отклонение вычисленное обычными спосо­бами дает точную величину ( = 5,0). Однако различие это не слишком ве­лико и, если бы были известны только крайние варианты ряда, прибли­женное вычисление среднего квадратического отклонения по амплитуде вариационного ряда имело бы смысл.

Итак, нахождение среднего квадратического отклонения позволяет судить о характере однородности исследуемой группы наблюдений. Если величина среднего квадратического отклонения небольшая, то это свиде­тельствует о достаточно высокой однородности изучаемого явления.

Среднюю арифметическую в таком случае следует признать вполне характерной, типичной для данного вариационного ряда. При очень боль­шой величине сигмы средняя арифметическая в меньшей степени характе­ризует весь вариационный ряд, что говорит о значительной вариабельно­сти изучаемого признака или явления или о неоднородности исследуемой группы.