Доверительный интервал для , если  неизвестно

Пусть , причем значения и неизвестны. По случайной выборке найдем эффективную оценку параметра и оценку:

(2.59)

параметра . Построение интервальной оценки для основано на статистике

, (2.60)

которая при случайной выборке из генеральной совокупности имеет распределение Стьюдента с степенью свободы, не зависящее от , и как функция параметра непрерывна и строго монотонна.

С учетом неравенства (2.32) и симметричности двусторонних критических границ распределения Стьюдента будем иметь

. (2.61)

Решая неравенство

(2.62)

относительно , получим, что с вероятностью выполняется неравенство

(2.63)

и ошибка оценки при неизвестном значении составляет

. (2.64)

Примечание:

Здесь, как и ранее, определено равенством (2.49); , – нижнее и верхнее двусторонние критические значения t-распределения.

Доверительный интервал для  при известном значении

Эффективной оценкой дисперсии в этом случае является

. (2.65)

Строим статистику:

, (2.66)

которая имеет распределение с степенями свободы, не зависящее от параметра , и как функция от параметра непрерывна и строго монотонна.

Следовательно,

, (2.67)

где и – двусторонние критические границы - распределения с степенями свободы.

Решая неравенство

(2.68)

относительно , получим, что с вероятностью выполняется неравенство

. (2.69)

Примечание:

, – двусторонние критические значения, которые совпадают со значениями и соответственно, взятыми из таблицы односторонних критических значений. Интервальная оценка несимметрична относительно .

Доверительный интервал для  при неизвестном

Наилучшей точечной оценкой в этом случае является

, (2.70)

и построение интервальной оценки для основано на статистике

, (2.71)

которая при случайной выборке из генеральной совокупности имеет распределение с степенью свободы.

Проделав для выкладки, подобные выкладкам п. 2.5.3, получим

, (2.72)

где , – двусторонние критические значения. Интервальная оценка несимметрична относительно .

Доверительный интервал для  (при n>10)

Имеются наблюдения за двумерной случайной величиной : ; . Эффективной оценкой коэффициента корреляции в этом случае является

. (2.73)

Строим статистику

, (2.74)

которая при больших имеет распределение, близкое к стандартному нормальному. Здесь – преобразование Фишера

. (2.75)

График преобразования Фишера представлен на рис. 2.6.

Рис. 2.6

Из строгой монотонности следует существование обратного преобразования Фишера .

С учетом неравенства

, (2.76)

используя обратное преобразование Фишера, получим оценку параметра :

(2.77)

которая справедлива с вероятностью .

Проверка статистических гипотез

Гипотезой называется некоторое предположение о генеральной совокупности, справедливость которого при заданном уровне значимости проверяется по статистическим данным.

Различают следующие гипотезы:

1) Параметрические – о значении параметра распределения случайной величины (например, ), в том числе:

• простые – гипотезы о значении одного параметра (например, );

• сложные – гипотезы о значениях нескольких параметров (например, , ).

2) Непараметрические – о виде распределения (например ).

Проверяемую гипотезу обычно называют основной и обозначают . Основная и альтернативная гипотезы представляют собой две возможности выбора, осуществляемого в задачах проверки статистических гипотез.

Таким образом:

– основная гипотеза,

– альтернативная (конкурирующая) гипотеза (она содержит логическое отрицание гипотезы ).

Суть проверки гипотезы заключается в том, что используется специально составленная выборочная характеристика (статистика), полученная по выборке, точное или приближенное распределение которой известно. Затем по этому выборочному распределению определяется критическое значение, такое, что по результатам его сравнения со статистикой можно при заданном уровне значимости сделать выбор в пользу одной из гипотез, – основной или альтернативной .Правило, по которому гипотеза принимается или отвергается, называется статистическим критерием. В основе этих построений лежат метод отношения правдоподобий и лемма Неймана–Пирсона.

Таким образом, множество возможных значений статистики критерия (критической статистики) разбивается на два непересекающихся подмножества: критическую область (область отклонения основной гипотезы) и область допустимых значений (область принятия основной гипотезы).

Условные вероятности того, что при заданном уровне значимости гипотеза принимается/отклоняется, представлены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

	H0 отклоняется	H0 принимается
H0 верна	= P( / ) Вероятность ошибки 1-го рода	1– = P( / ) Вероятность правильного решения 1-го рода
H0 не верна	1– = P( / ) Вероятность правильного решения 2-го рода, 1- – «мощность критерия»	= P( / ) Вероятность ошибки 2-го рода

Уровень значимости критерия – вероятность допустить ошибку 1-го рода, т. е. отвергнуть гипотезу , когда она верна. Ошибка 2-го рода – принятие гипотезы , когда она неверна.

Чем ближе к 1 мощность критерия (чем меньше вероятность ошибки 2-го рода), тем более мощным считается соответствующий критерий.