Наиболее часто используемые в эконометрике распределения

1) Нормальное распределение с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением обозначается .

Функция плотности нормального распределения определяется равенством

. (2.34)

Частный случай – стандартное нормальное распределение с математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением .

2) Распределение Хи-квадрат с степенями свободы обозначается .

Пусть имеется независимых случайных величин , каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение ,

Тогда величина

(2.35)

имеет распределение Хи-квадрат с степенями свободы: Z ~ .

3) Распределение Стьюдента с степенями свободы обозначается и называется также - распределением.

Случайная величина

(2.36)

имеет распределение Стьюдента , если – независимые одинаково распределенные случайные величины, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение.

4) Распределение Фишера со степенями свободы и обозначается . По этому закону распределена случайная величина

, (2.37)

где

, (2.38)

. (2.39)

Критические значения распределения случайной величины

Задача построения интервальных оценок на практике решается с использованием критических значений соответствующих распределений. Используются следующие критические значения:

1) Односторонние критические значения:

а) левое одностороннее критическое значение, соответствующее уровню значимости , обозначается и определяется как решение уравнения

. (2.40)

Геометрический смысл иллюстрируется на рис. 2.1 с графиком плотности распределения ( – площадь заштрихованной криволинейной трапеции). называется еще квантилью порядка .

Рис. 2.1

б) правое одностороннее критическое значение, соответствующее уровню значимости , обозначается и определяется как решение уравнения (рис. 2.2):

(2.41)

Рис. 2.2

2) Двусторонние критические значения, нижнее и верхнее , соответствующие уровню значимости , определяются как решения уравнений

, (2.42)

и

, (2.43)

соответственно.

Таким образом,

(2.44)

( рис. 2.3).

Рис. 2.3

Между односторонними и двусторонними критическими значениями существует связь, определяемая соотношениями, которые легко следуют из определений:

, (2.45)

, (2.46)

, (2.47)

, (2.48)

( рис. 2.4).

Рис. 2.4

Интервальные оценки параметров нормального распределения по результатам наблюдений Доверительный интервал для , если известно

Пусть , причем значение неизвестно, а значение дисперсии известно. В таком случае эффективной оценкой параметра является выборочное среднее

, (2.49)

вычисляемое по результатам наблюдений .

Статистика

(2.50)

имеет распределение , не зависящее от параметра , и как функция параметра непрерывна и строго монотонна. Следовательно, с учетом (2.32) и симметричности двусторонних критических границ распределения будем иметь

, (2.51)

где и – соответствующие нижнее и верхнее двусторонние критические значения стандартного нормального распределения (см. рис. 2.5).

Решая неравенство

(2.52)

относительно , получим, что с вероятностью выполняется неравенство

, (2.53)

определяющее искомый доверительный интервал.

При этом ошибка оценки определяется равенством

. (2.54)

Рис. 2.5

Значение можно найти из таблицы значений функции Лапласа

. (2.55)

При этом по определению

, (2.56)

или

. (2.57)

Таким образом, можно определить как решение уравнения

. (2.58)

В таблице значений функции Лапласа находится значение (в столбце), далее находится соответствующее значение аргумента. Если заданное значение в таблице отсутствует, используются стандартные интерполяционные соображения.