Примеры эконометрических моделей Модель кривой спроса

Этот пример мы рассматриваем более подробно, чем другие, останавливаясь без строгого обоснования на основных предпосылках и соображениях, используемых при построении эконометрической модели. В остальных примерах эти же соображения могут быть использованы с очевидными непринципиальными изменениями. Общая схема рассуждений является типичной для эконометрического исследования, она формализована в разделе 1.4. Полное и строгое обоснование отдельных этапов этой схемы будет дано в последующих разделах курса.

Согласно основным положениям экономической теории спрос представляет собой функцию от цены:

. (1.2)

Необходимо построить эконометрическую модель этой зависимости, располагая исходной информацией в виде набора пар значений , , где – наблюдаемый спрос на товар при цене д. е. за единицу товара.

Совокупность наблюдаемых значений составляет так называемое «облако наблюдений» (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Вид облака наблюдений используется для выбора типа зависимости, максимально точно описывающей (моделирующей) данное явление. Имея облако наблюдений, можно выдвинуть, например, следующие две гипотезы о виде моделируемых зависимостей:

1. линейная зависимость

, (1.3)

2. нелинейная зависимость

. (1.4)

Рис. 1.3

I. Рассмотрим сначала линейную модель:

Формула (1.3) ( <0), отражает форму линейной зависимости,

где – «объясняемая» переменная,

– «объясняющая» переменная.

Но наблюдаем мы возмущенные значения, в связи с этим возникает модель наблюдений:

, (1.5)

( – объем выборки), в которой выделяется детерминированная составляющая модели (рис. 1.3):

, (1.6)

где , – параметры модели (коэффициенты); – случайное возмущение (случайная величина).

Так как в модели наблюдений присутствует случайная составляющая, каждая величина – случайная. Таким образом, мы не можем найти точные значения параметров модели и , можно поставить лишь задачу нахождения оценок параметров – .

В процессе решения задачи возникают два вопроса:

1. Как найти оценки параметров?

2. Как использовать найденные оценки?

Обсудим сначала первый вопрос. Обычно к оценкам предъявляются некоторые требования (например, несмещенность, состоятельность, эффективность (см. параграф 2.1). Вариантов такой оценки может быть много. При выборе наилучшей из возможных оценок будем сравнивать расчетное значение

, , (1.7)

и наблюдаемое значение при каждом конкретном значении объясняющей переменной (рис. 1.3). Очевидно, чем меньше разница между сравниваемыми величинами, тем лучше предложенная оценка описывает исходный процесс. Но в конечном счете необходимо найти такую оценку, которая достаточно точно описывала бы процесс в целом, т. е. обладала адекватностью и достаточным уровнем объясняющей способности. Таким образом, нам необходим критерий, который обеспечивал бы поиск оценки достаточной (максимальной) точности.

Один из таких критериев связан с оценкой качества модели по сумме квадратов остатков :

. (1.8)

Каким образом формируется величина ? Нас интересуют остатки, причем по каждому наблюдению. Чтобы оценить модель в целом, необходимо просуммировать квадраты остатков. Идея суммирования квадратов остатков достаточно естественна. Она позволяет избежать взаимной компенсации остатков с разными знаками. Идея минимизации суммы квадратов остатков лежит в основе метода наименьших квадратов (МНК).

Реализация МНК состоит в нахождении оценок, доставляющих минимум величине :

. (1.9)

Замечание:

В качестве критерия качества оценок могут быть использованы и другие функции остатков:

, , (1.10)

. (1.11)

Поверхность

(1.12)

п редставляет собой эллиптический параболоид (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Таким образом, графическое решение задачи на безусловный экстремум выглядит как нахождение на поверхности второго порядка точки с минимальным значением .

Используя необходимое условие локального минимума

(1.13)

получаем систему линейных алгебраических уравнений, которая называется системой нормальных уравнений (СНУ).

МНК удобен тем, что его реализация в конечном счете сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Кроме того, функционал (1.8) всегда имеет единственную точку минимума (см. рис. 1.4), поэтому, решая задачу (1.9), получаем единственную наилучшую (в смысле критерия (1.8) ) оценку

Полученные оценки являются точечными. С практической точки зрения больший интерес представляют так называемые интервальные оценки, дающие доверительные интервалы для параметров. Применительно к параметру доверительный интервал имеет вид

, (1.14)

где – ошибка оценки,

(1.15)

– доверительная вероятность, – уровень значимости.

Таким оценкам посвящен специальный параграф (см. 2.2).

По поводу ответа на вопрос об использовании найденных оценок заметим следующее. Полученные наилучшие оценки и можно использовать для прогнозирования: задав прогнозное значение , вычисляем прогнозное значение :

. (1.16)

Как правило, в дальнейшем индекс 0 в и будет опускаться, а под оценками и будут пониматься только оценки, полученные с помощью МНК.

II. Для нелинейной модели (1.4) ее логарифмирование позволяет свести этот случай к линейному и снова воспользоваться МНК. Преобразование нелинейной модели в линейную называется линеаризацией. В случае модели (1.4) линеаризация осуществляется логарифмированием обеих частей соотношения (1.4):

. (1.17)

После переобозначения переменных в выражении (1.17) ( ; ; ) приходим к модели вида

, (1.18)

для которой можно повторить все рассуждения п. I.