Метод экспоненциального сглаживания

Метод экспоненциального сглаживания позволяет анализировать временной ряд и получать прогноз без предварительного задания формы тренда. Требуется лишь, чтобы в области исследования тренд изменялся достаточно постепенно.

В основе экспоненциального сглаживания лежит следующая теоретико-вероятностная схема [5]:

(9.29)

причем , при (таким образом, ).

Исходный временной ряд (9.29) подвергается сглаживанию: сглаженный ряд получается с помощью линейного оператора сглаживания, определяемого с помощью рекуррентного соотношения

, (9.30)

где – так называемый коэффициент сглаживания, 0 < < 1. При этом определяется как

Если применить оператор сглаживания последовательно ко всем значениям отрезка ряда, то получим

(9.31)

Таким образом, в случае экспоненциального сглаживания наблюдения входят в обработку не с одинаковыми, а с экспоненциально убывающими весами, т.е. настоящие наблюдения воспринимаются с большим доверием, чем прошлые. Напомним, что и в методе скользящих средних имеет место неравенство весов: наблюдения, попавшие в отрезок осреднения, входят с равными весами, а остальные наблюдения – с нулевыми весами.

Так как веса убывают как степени положительного числа, меньшего единицы, то при достаточно большой длине ряда его прошлые значения входят с весами, быстро стремящимися к нулю (по мере удаления), и выражение (9.31) приближенно можно заменить равенством

, (9.32)

считая, например, что при .

Для иллюстрации смысла «сглаживания» применим оператор сглаживания к случайной составляющей и найдем дисперсию

Так как 0 < < 1, то < , т.е. сглаживание уменьшает дисперсию.

Оператор сглаживания можно снова применить к сглаженному ряду. Двукратное применение оператора сглаживания приводит к понятию оператора сглаживания второго порядка, N-кратное сглаживание порождает оператор сглаживания N-го порядка:

(9.33)

Применяя несколько раз оператор сглаживания, а также подбирая соответствующим образом коэффициент сглаживания, можно практически полностью исключить случайную оставляющую. В результате останется только преобразованная детерминированная составляющая.

Оператор сглаживания как в первоначальной, так и в унифицированной форме линеен, поэтому, применяя его к отдельным составным частям теоретико-вероятностной схемы, можно после сложения получить результат сглаживания всего исходного ряда.

В случае экспоненциального сглаживания имеются аналитические выражения для прогноза. Теорема Брауна, являющаяся фундаментальной в методе экспоненциального сглаживания, утверждает, что коэффициенты полиномов, по которым осуществляется прогнозирование, определяются с помощью взвешенного метода наименьших квадратов и аналитически выражаются через сглаженные значения ряда.

Введем следующие обозначения для прогнозирующего полинома степени N, построенного в предположении, что значение ряда в момент T является последним:

(9.34)

По этому полиному можно получать прогноз в точках . Коэффициенты полинома должны быть определены так, чтобы прогноз был наиболее точным. Так как значения известны и в силу (9.34) то можно воспользоваться взвешенным МНК.

Теорема Брауна. Коэффициенты прогнозирующих полиномов, определенные с помощью взвешенного МНК:

(9.35)

линейно выражаются через сглаженные значения ряда .