Общий вид модели наблюдений в случае существенно нелинейной модели

В общем виде спецификацию существенно нелинейной модели можно представить в виде

, (8.25)

где – число наблюдений, – объясняющие переменные, – оцениваемые параметры. Необходимо найти выровненные значения объясняемой переменной, для этого нужно найти оценки параметров модели (8.25):

. (8.26)

Однако, так как данный класс моделей не сводится к линейным, стандартная процедура МНК здесь неприменима. Постановка задачи остается прежней:

, (8.27)

однако система нормальных уравнений

(8.28)

не является линейной. Для решения задачи (8.27) применяются численные методы, одним из которых является градиентный метод.

Напомним, что градиент функционала представляет собой вектор-столбец первых частных производных функционала по всем переменным:

. (8.29)

Вектор градиента показывает в пространстве оценок направление наибольшего роста функции . Следовательно, для того чтобы минимизировать функционал , следует последовательно делать шаги в направлении, противоположном градиенту.

Сравнение регрессионных моделей с различными функциональными формами. Тест Бокса–Кокса

При построении эконометрических моделей может возникнуть ситуация, когда исследователю трудно принять решение в пользу линейной или нелинейной модели. В таких случаях может оказаться полезным тест Бокса–Кокса [1], который позволяет выяснить, существенно ли различие между линейной и нелинейной моделями.

Пусть необходимо сравнить следующие два вида спецификации:

(8.30)

и

. (8.31)

Алгоритм проведения теста Бокса–Кокса состоит в следующем.

1-й шаг:

Нормировка наблюдаемых значений путем деления на среднее геометрическое:

. (8.32)

2-й шаг:

После нормировки получаем новые наблюдаемые значения . Линеаризуем модель (8.31) методом логарифмирования и последующего переобозначения переменных: и .

Для обеих модифицированных моделей применяем МНК и вычисляем суммы квадратов остатков:

, (8.33)

. (8.34)

3-й шаг:

Строится статистика

. (8.35)

При естественных предположениях о нормальности случайных возмущений эта статистика имеет распределение Хи-квадрат с одной степенью свободы.

4 шаг:

Оцениваем статистику при заданном уровне значимости .

Правила принятия решения:

Если , то «различия значимы» между линейной и мультипликативной моделью. Выбирается та модель, которая дает наименьшую сумму квадратов остатков.

Если , то «различия не значимы». Выбирается линейная модель.

9. Временные ряды Определение временного ряда. Основные понятия

Под временным рядом понимается последовательность значений объясняемой переменной, соответствующая возрастающей последовательности моментов времени. Последовательность, представляющую собой временной ряд, обозначим следующим образом:

. (9.1)

Основная задача анализа временных рядов заключается в выделении детерминированной и случайной составляющих, оценке их параметров и использовании этих оценок для прогнозирования. Получив оценки детерминированной и случайной составляющих, можно прогнозировать значения как самого временного ряда, так и его составляющих.

В общем случае временной ряд содержит как детерминированную, так и случайную составляющие; для простоты далее будем считать их аддитивными:

, (9.2)

где – значения временного ряда; – детерминированная составляющая; – значения детерминированных факторов, влияющих на детерминированную составляющую в момент ; – случайная составляющая. Составляющие временного ряда не являются наблюдаемыми величинами – это теоретическое разложение его уровней.

В случае, когда детерминированная составляющая зависит только от времени: , ее называют трендом временного ряда. В тренде, в свою очередь, выделяют следующие аддитивные составляющие: а) долговременный (монотонный) тренд, б) циклический (периодический) тренд, в) сезонный тренд.

Важнейшей классической задачей при исследовании экономических временных рядов является выявление и статистическая оценка основной тенденции развития изучаемого процесса и отклонений от нее.

К основным этапам анализа временного ряда относят

• графическое представление и описание поведения временного ряда;

• выделение и удаление детерминированных составляющих временного ряда (долговременного тренда, сезонных и циклических составляющих);

• сглаживание (удаление высокочастотных составляющих временного ряда);

• исследование случайной составляющей временного ряда (построение и проверка адекватности ее математической модели);

• прогнозирование развития изучаемого процесса на основе имеющегося временного ряда.

Важное значение при анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Стационарные временные ряды применяются, в частности, при описании случайных составляющих анализируемых рядов. Различают ряды стационарные в широком и узком смысле.

Временной ряд называется стационарным в узком смысле, если совместное распределение вероятностей наблюдений совпадает с распределением наблюдений при любых и .

Временной ряд называется стационарным в широком смысле, или слабо стационарным, если и зависит только от . Функция

называется автокорреляционной функцией.

Белым шумом называется временной ряд , для которого

В этом случае используется обозначение ~ . Если при этом ~ , белый шум называется нормальным, или гауссовским.

Фундаментальную роль в теории временных рядов играет теорема Волда (1938), утверждающая, что всякий стационарный в широком смысле слова чисто случайный временной ряд может быть представлен в виде линейной комбинации

, (9.3)

где ~ . При этом «чисто случайный» означает, что все детерминированные компоненты, допускающие точное предсказание по предыдущим значениям, из уже извлечены. Коэффициенты называются весами.

Остановимся на моделях авторегрессии и скользящего среднего.

Использование моделей авторегрессии при моделировании закономерностей реального слабо стационарного процесса, допускающего представление в виде дискретного временного ряда его значений, основано на предположении о том, что текущее значение такого процесса может быть выражено в виде линейной комбинации некоторого количества предыдущих его значений и случайной ошибки, обладающей свойством «белого шума».

Модель авторегрессии -го порядка обозначается и имеет вид

. (9.4)

Модель – марковский случайный процесс. Этому случаю соответствуют полиномиальные веса в представлении (9.3): , .

Наряду с авторегрессионными моделями временных рядов в эконометрике рассматриваются также модели скользящего среднего. В этих моделях текущее значение стационарного случайного процесса представляется в виде линейной комбинации текущего и прошлых значений ошибки ,  ,…, по своим свойствам соответствующей «белому шуму». Модель скользящего среднего порядка обозначается и имеет вид

. (9.5)

Используются также комбинированные модели временных рядов и . Авторегрессионная модель скользящего среднего порядков и соответственно – модель имеет вид

+ . (9.6)

Еще более общий случай представляет собой модель :

+

+ +…+ . (9.7)

Частным случаем последней модели является модель с распределенными лагами = :

, (9.8)

а также авторегрессионная модель с распределенными лагами = :

+

+ . (9.9)

Модель (9.9) наиболее распространена в практике эконометрических исследований.

Ограничимся здесь случаем

, (9.10)

считая, что случайное возмущение подчиняется закону :

(9.11)

или закону

, (9.12)

где ~ .

Пусть сначала (таким образом, – единственная объясняющая переменная) и имеет место (9.11). В этом случае оценка , полученная стандартным МНК, имеет вид

(9.13)

и сходится по вероятности к числу

. (9.14)

Таким образом, несостоятельность оценки (9.13) тем больше, чем сильнее автокорреляция случайных возмущений. При условии предельное значение оценки будет близко к истинному значению параметра .

В общем случае ( , ), если для всех , , отмеченное свойство оценки тоже имеет место.

Уравнение (9.10) последовательной подстановкой в правую часть вместо их выражений в силу модели через предшествующие значения приводится к виду

. (9.15)

Такая модель называется моделью Койка или моделью с геометрическим распределение лагов, а само преобразование модели (9.10) к виду (9.15) называется обратным преобразованием Койка.

Так как переменные не коррелируют с , то формально можно применить стандартный МНК. Существенное осложнение на этом пути связано с бесконечным числом регрессоров. На практике применяют так называемый нелинейный МНК.

Отметим, что необходимым условием стационарности ряда является требование . В этих условиях осуществляется следующая процедура нелинейного МНК.

1. Интервал ( , 1) покрывается достаточно мелкой сеткой значений (например, с шагом 0,01).

2. Для каждого вычисляется

,

число при этом выбирается достаточно большим, чтобы можно было пренебречь слагаемыми .

3. С помощью стандартного МНК для каждого оцениваются параметры модели

и выбирается модель с максимальным коэффициентом детерминации . Обозначим соответствующие оценки и . Пусть они соответствуют значению .

4. В соответствии с моделью (9.15) имеем

и .

Модель (9.10) может возникать как форма модели частичной корректировки:

, , (9.16)

где в роли объясняемой переменной в первом уравнении выступает взвешенная (с весами и ( )) сумма предшествующего значения и некоторого «желаемого» значения , которое является ненаблюдаемым. Подставляя закон формирования (второе уравнение) в модель для получаем

, (9.17)

т.е. модель вида (9.10).

К виду (9.10) приводится также модель адаптивных ожиданий

, (9.18)

где – значение ожидаемого уровня регрессора, неизвестного в момент . Уравнение (9.18) дополняют уравнением

, (9.19)

используя которое приводим (9.18) к виду

. (9.20)

В модели Койка коэффициенты при убывают как члены убывающей геометрической прогрессии. В некоторых случаях это условие оказывается слишком жестким.

Для уравнения

(9.21)

модель Алмон использует предположение о полиномиальной зависимости от номера . В случае многочлена второй степени имеем

. (9.22)

Используя это предположение, уравнение (9.21) можно записать в виде

. (9.23)

Обозначая

, , , (9.24)

получаем модель

, (9.25)

параметры которой можно оценить применяя стандартный МНК. После этого легко находятся оценки параметров модели (9.21):

,

,

,

.

В заключение остановимся коротко на проблемах изучения нестационарных временных рядов.

Будем считать, что из ряда удалена неслучайная составляющая и ряд процентрирован ( ).

У стационарного временного ряда его значение в каждый следующий момент времени «стремится» вернуться к нулевому значению – выровненное значение должно находиться ближе к нулю, чем .

Более строго, в модели

(9.26)

истинное значение параметра должно удовлетворять условию . В случае будут иметь место так называемые «случайные блуждания», при этом

,

т.е. дисперсия неограниченно возрастает. В случае ряд тем более не может быть стационарным. Вопрос о стационарности ряда часто сводится к проверке гипотезы : . Эту задачу называют проблемой единичного корня. Уравнение (9.26) можно записать в виде

. (9.27)

Оказывается даже в случае ~ -статистика коэффициента , не подчиняется распределению Стьюдента, и поэтому нельзя воспользоваться стандартным -тестом для проверки гипотезы , эквивалентной гипотезе . В этом случае применяют тест Дики–Фуллера.

Одним из приемов преодоления проблемы нестационарности временного ряда является переход к ряду приращений . Если ряд приращений является стационарным, то исходный нестационарный ряд называется интегрируемым. Если же стационарным оказывается ряд приращений -го порядка:

, , (9.28)

где , то исходный ряд называется интегрируемым порядка . Если ряд допускает идентификацию как ряд , то исходный ряд обозначают .

Другим приемом преодоления нестационарности является коинтеграция нескольких нестационарных рядов, при которой осуществляется поиск их линейной комбинации, дающей стационарный временной ряд. Нестационарные ряды и называются коинтегрируемыми, если существуют такие числа и , что ряд является стационарным. Очевидно, это эквивалентно существованию такого числа , что стационарен ряд . Состоятельную оценку параметра можно получить стандартным МНК, примененным к модели

.

К ряду для проверки его на стационарность применяется специальный тест коинтеграции (отличный от теста Дики–Фуллера).