Модели, нелинейные по параметрам
В моделях, нелинейных по параметрам, например степенных или показательных, непосредственное применение стандартного МНК для их оценки невозможно, так как необходимым условием применимости МНК является линейность по коэффициентам уравнения регрессии. В данном случае преобразованием, которое приводит уравнение регрессии к линейному виду, является логарифмирование.
1) Логарифмические модели. Степенные зависимости между переменными широко распространены в практике эконометрического моделирования социально-экономических процессов. Рассмотрим уравнение парной регрессии вида
(8.12)
где и – параметры модели. Параметр степенной модели представляет собой значение эндогенной переменной, полученное при единичном значении регрессора. Для того чтобы дать экономическую интерпретацию параметру данной модели, продифференцируем (8.12) по переменной :
(8.13)
откуда
(8.14)
т.е. параметр представляет собой эластичность переменной по переменной . Уравнение (8.12) не является линейным. Прологарифмируем обе части данного уравнения:
, (8.15)
где
.
Спецификация, соответствующая (8.15),
называется двойной
логарифмической
моделью:
, (8.16)
поскольку и эндогенная переменная, и регрессор используются в логарифмической форме. Второе название модели – модель с постоянной эластичностью – следует из того факта, что параметр , являясь константой, представляет собой эластичность.
Уравнение (8.16) линейно относительно логарифмов переменных, поэтому вводя обозначения
,
, (8.17)
получаем спецификацию линейной модели, к которой при соответствующем включении случайного возмущения применим МНК:
.
(8.18)
Модели типа (8.12) используются в микроэкономике для построения производственных функций, функций потребления, функций спроса и т. д.
Спецификации линейных моделей, включающих или только логарифмы значений эндогенной переменной, или только логарифмы значений регрессора, называются полулогарифмическими. Модель со спецификацией вида
(8.19)
относится к полулогарифмическим моделям и называется лог-линейной моделью. Очевидно, для преобразования ее к линейному виду используется замена . Для экономической интерпретации параметра модели продифференцируем (8.19) по :
, (8.20)
т. е. параметр характеризует отношение относительного изменения к абсолютному изменению и имеет смысл темпа прироста переменной по переменной . Полулогарифмические модели обычно используются для измерения темпа прироста экономических переменных. Например, к спецификации (8.19) приводит логарифмирование уравнения регрессии экспоненциального вида:
, (8.21)
которое
описывает операцию наращения начальной
суммы
за период
по непрерывной процентной ставке
(силе роста). Смысл параметра
– относительный прирост
за единицу времени.
2) Линейно-логарифмическая модель. Эта модель имеет вид
(8.22)
Линейно-логарифмическая модель приводится к линейной путем замены . Смысл параметра установим стандартным образом. Продифференцировав (8.22) по , получим
(8.23)
откуда
(8.24)
т. е. параметр характеризует отношение абсолютного изменения к относительному изменению (изменение переменной y вследствие единичного относительного прироста ). Модель (8.22) используется при исследовании влияния процентного изменения регрессора на абсолютное изменение эндогенной переменной, например, при моделировании влияния процентного изменения денежной массы на изменение объема ВНП.
Все рассмотренные выше модели с помощью того или иного преобразования сводятся к линейным. Однако существует класс моделей, несводимых к линейным, такие модели называются существенно нелинейными.