8. Нелинейные регрессионные модели

В предыдущих разделах рассматривались только линейные функции регрессии, как в парной, так и в множественной регрессионных моделях. В моделях линейной регрессии переменные имеют первую степень (модель, линейная по переменным), а параметры выступают в виде коэффициентов при этих переменных (модель, линейная по параметрам). Аппарат оценки параметров таких моделей, как известно, хорошо разработан. Однако многие экономический процессы лучше описываются нелинейными соотношениями, например, нелинейными функциями спроса и предложения, нелинейными производственными функциями и т. п. В качестве уравнений регрессии, например, при спецификации парных моделей, обычно привлекаются следующие функции:

• линейная

(8.1)

• степенная

(8.2)

• показательная (экспоненциальная)

(8.3)

• гиперболическая

(8.4)

• полиномиальная (степени m)

(8.5)

Уравнения регрессии в нелинейных моделях могут быть нелинейными как по переменным, так и по параметрам. При оценке эконометрических моделей с нелинейными уравнениями регрессии возникают некоторые сложности, которые отсутствуют при оценке линейных эконометрических моделей. Поэтому, если это возможно, нелинейные спецификации путем соответствующих преобразований сводятся к линейным, т.е. выполняется их линеаризация.

Модели, нелинейные по переменным

1) В моделях, нелинейных по переменным и линейных по параметрам, регрессоры, входящие в модель нелинейно, заменяются другими независимыми переменными, и к новой системе переменных применяется обычный МНК. После того как получено уравнение с оцененными параметрами, введенные в него новые независимые переменные заменяются на первоначальные. Описанный подход применяется, в частности, для полиномиальной регрессии степени m:

. (8.6)

Вводятся переменные

(8.7)

Рассматривая в качестве матрицы регрессоров матрицу и используя МНК, находим оценку вектора параметров:

. (8.8)

Случайное возмущение исходного уравнения не подвергалось никаким преобразованиям, поэтому, если предпосылки Гаусса–Маркова выполнены для исходной спецификации, то они будут справедливы и для преобразованной.

2) Для преобразования гиперболической регрессии

(8.9)

к линейному виду используется замена: .

В экономических исследованиях гиперболическая регрессия используется при моделировании зависимости, в которой при неограниченном увеличении регрессора эндогенная переменная асимптотически приближается к некоторому предельному значению. В частности, для модели (8.9) при неограниченном увеличении регрессора значение стремится к значению параметра , поэтому экономическая интерпретация данного параметра – уровень эндогенной переменной, который устанавливается при больших значениях регрессора, а параметр характеризует скорость приближения к данному уровню.

В качестве примера применения спецификации (8.9) можно привести модели, описывающие зависимости спроса от цен или дохода – кривые Энгеля; или модели спроса на товары первой необходимости и/или относительной роскоши в зависимости от уровня дохода потребителя – функции Торнквиста. Спецификация (8.9) применяется также при моделировании зависимости между уровнем безработицы в процентах и процентным изменением заработной платы (кривая Филлипса).

3) Гиперболическая регрессия вида

(8.10)

сводится к линейной преобразованием .

4) Для линеаризации спецификации вида

(8.11)

замена переменных используется как для объясняемой переменной , так и для регрессора .