Двухшаговый мнк

Обратимся к уже упомянутой модели Кейнса. Идея двухшагового МНК применительно к (6.1) состоит в следующем.

1) На первом шаге наблюдаем значения и , . Предположим, что между и существует связь в виде парной линейной регрессии. Применим МНК и получим оцененную модель

. (6.10)

Используя модель (6.10), находим выровненные значения .

2) На втором шаге используем модель структурной формы (6.1), но вместо наблюдаемых значений возьмем вычисленные на предыдущем шаге выровненные значения . Теперь, используя для расчетов значения в качестве значений объясняемой переменной и , , – в качестве значений объясняющей переменной, применяем стандартный МНК и получаем оценки и .

Трехшаговый мнк

Процедура трехшагового МНК включает в себя двухшаговый МНК, а также процедуру очистки от автокорреляции в виде обобщенного МНК. Очевидно, что если случайные члены не коррелируют между собой, трехшаговый МНК сводится к двухшаговому. Трехшаговый метод обладает важным свойством, обеспечивающим его наибольшую эффективность, а именно, при достаточно большом числе итераций оценки трехшагового метода наименьших квадратов совпадают с оценками максимального правдоподобия [6].

Общий вид системы одновременных уравнений

Обозначим через , вектор-столбец эндогенных переменных ; , вектор-столбец экзогенных переменных ; – вектор-столбец случайных возмущений;

,

– матрицы коэффициентов при эндогенных и экзогенных переменных соответственно. В этих обозначениях структурная форма системы одновременных уравнений (СОУ) имеет вид

, . (6.11)

Если матрица имеет обратную , система (6.11) приводится к системе

, , (6.12)

которая называется приведенной формой СОУ. Системе (6.12) можно придать вид

, , (6.13)

где ; . Из представления вектора случайных возмущений следует, что если случайные возмущения структурной формы имеют нулевое математическое ожидание, некоррелированны и гомоскедастичны, то этими же свойствами обладают случайные возмущения приведенной формы.

Сформулируем несколько необходимых условий идентифицируемости модели в структурной форме, вытекающих из преобразований (6.11)  (6.12)  (6.13).

Условие 1. Число уравнений структурной формы (6.11) совпадает с числом эндогенных переменных.

Условие 2. Матрица коэффициентов при эндогенных переменных обратима.

Условие 3. Столбцы -матрицы наблюдаемых значений экзогенных (предопределенных) переменных линейно независимы, или, эквивалентно, -матрица обратима.

Вопрос об идентифицируемости отдельного уравнения структурной формы (6.11) – это вопрос о возможности оценки параметров этого уравнения по матрице оценок параметров приведенной формы.

Среди систем общего вида (6.11) особое место занимают рекурсивные системы одновременных уравнений. Рекурсивными называются СОУ (6.11), у которых -матрица является нижнетреугольной с ненулевыми диагональными элементами:

при ; и ; .

Другими словами, рекурсивная СОУ это специальный случай системы одновременных уравнений, когда уравнения структурной формы можно расположить так, что -е уравнение имеет вид

,

, (6.14)

и, таким образом, из эндогенных переменных содержит в правой части только те, номера которых меньше номера уравнения , а случайные возмущения не коррелируют с . В таком случае последовательное применение стандартного МНК к каждому уравнению начиная с дает состоятельные оценки параметров структурной формы. В этом смысле рекурсивные системы представляют собой простейший класс СОУ.