6. Системы одновременных уравнений. Косвенный мнк. Двухшаговый мнк

Во всех моделях, рассматриваемых в предыдущих главах, мы имели дело с единственной объясняемой переменной. Тем не менее многие модели, представляющие значительный практический интерес, содержат несколько объясняемых переменных одновременно. При этом значения таких переменных в одном уравнении зависят от некоторого количества объясняющих переменных, а в других они сами оказываются среди объясняющих переменных.

В этой главе на простом примере одной модели Кейнса обсуждаются основные понятия и приемы правильного оценивания системы одновременных уравнений.

Кейнсианская модель формирования доходов

Рассматривается закрытая экономика без государственного вмешательства. Модель описывается следующей системой одновременных уравнений:

(6.1)

где – потребление;

– чистый конечный продукт;

– инвестиции;

– случайное возмущение.

Первое уравнение системы (6.1) представляет собой так называемое поведенческое уравнение, а второе – тождество. и – эндогенные (внутренние) переменные, – экзогенная (задаваемая извне) переменная.

Косвенный мнк

В указанной модели Кейнса нарушается одно из условий Гаусса–Маркова, а именно наблюдается зависимость регрессора от случайного возмущения. Действительно, подставим

(6.2)

в выражение для :

(6.3)

Отсюда

(6.4)

Таким образом получаем, что сам регрессор содержит случайное возмущение и Вследствие нарушения одного из условий Гаусса–Маркова, для нахождения оценок параметров модели нельзя применить стандартный МНК. В связи с эти предлагается его модификация, а именно косвенный МНК.

В основе этого метода лежит простая идея. Поскольку препятствием к применению метода наименьших квадратов является коррелированность эндогенных переменных со случайными членами, следует разрешить систему уравнений относительно эндогенных переменных так, чтобы в правых частях уравнений оставались только экзогенные переменные. Очевидно, что для системы (6.1) это всегда можно сделать. Затем можно применить обычный метод наименьших квадратов к полученным уравнениям и получить оценки некоторых выражений от исходных параметров, из которых потом находятся и оценки самих параметров.

Такая процедура называется косвенным методом наименьших квадратов.

Продемонстрируем его на примере модели Кейнса.

Сначала разрешим систему (6.1) относительно эндогенных переменных (в правой части остаются только экзогенные), получим

(6.5)

Теперь к каждому уравнению системы (6.5) можно применить стандартный МНК. Применяя МНК к первому уравнению, получаем оценки

, (6.6)

. (6.7)

Далее по оценкам и , решая систему (6.6), (6.7), находим оценки параметров и :

, (6.8)

. (6.9)

Проблема идентифицируемости модели

В рассмотренном примере уравнения (6.6) и (6.7) были однозначно разрешимы относительно исходных параметров, что позволило найти их состоятельные оценки. Очевидно, что такая ситуация имеет место не всегда. Рассмотрим эту проблему более подробно.

Форма (6.1) называется структурной формой системы уравнений. Параметры структурной формы называются структурными параметрами. Форма (6.5) называется приведенной формой системы. Параметры приведенной формы оцениваются с помощью метода наименьших квадратов. Однако экономический смысл и интерес для анализа представляют параметры структурной формы. Именно структурная форма раскрывает экономический механизм формирования значений эндогенных переменных.

Структурный параметр называется идентифицируемым, если он может быть однозначно оценен с помощью косвенного метода МНК.

Уравнение идентифицируемо, если идентифицируемы все входящие в него структурные параметры.

Структурный параметр называется неидентифицируемым, если его значение невозможно получить, даже зная точные значения параметров приведенной формы. Наконец, параметр называется сверхидентифицируемым, если косвенный метод наименьших квадратов дает несколько различных его оценок.

Как отмечено в [6], проблема сверхидентифицируемости – это проблема количества наблюдений: с увеличением объема выборки все различные состоятельные оценки параметра стремятся к одному и тому же истинному значению. Между тем проблема неидентифицируемости – это проблема структуры модели. Неидентифицируемость не исчезает с ростом количества наблюдений и означает, что существует бесконечное число структурных моделей, имеющих одну и ту же приведенную форму.