Методы преодоления автокорреляции

При наличии автокорреляции случайных возмущений, метод наименьших квадратов дает несмещенные и состоятельные (хотя, естественно, неэффективные) оценки коэффициентов регрессии, однако, как уже было отмечено выше, оценки их дисперсий несостоятельные и смещенные (как правило, в сторону занижения), т.е. результаты тестирования гипотез оказываются недостоверными.

Что делать, если автокорреляция есть? Существует несколько способов ее устранения:

1) пересмотр модели и ввод дополнительных переменных;

2) переход к нелинейной модели;

3) линейное преобразование модели.

Рассмотрим более подробно линейное преобразование. Запишем модель наблюдений в матричной форме:

. (5.25)

При наличии автокорреляции возмущений для ковариационной матрицы возмущений имеем

. (5.26)

Далее к модели

(5.27)

применим невырожденное линейное преобразование - умножим обе части равенства (5.28) на матрицу P слева:

(5.28)

Вводя обозначения , запишем (5.28) в виде

. (5.29)

Для модели (5.29) вычислим ковариационную матрицу:

. (5.30)

Возникает вопрос каким образом выбрать матрицу , чтобы ковариационная матрица для модели (5.29) обращалась в единичную?

В предположении положительной определенности матрицы , ее можно представить в виде

(5.31)

где – невырожденная матрица.

В таком случае в качестве матрицы P можно взять матрицу

Действительно,

(5.33)

Таким образом, при в модели (5.29) автокорреляция отсутствует и к ней можно применить стандартный МНК.

Применение линейного преобразования при наличии автокорреляции (в случае обратимости ковариационной матрицы наблюдений) приводит к формуле для оценки коэффициентов линейной регрессии, совпадающей с оценкой, получающейся в результате применения обобщенного МНК (см. параграф 4.8):

=

= (5.34)

Замечание: при решении практических задач вместо ковариационной матрицы используется ее оценка, получаемая с помощью остатков.

Авторегрессионное преобразование первого порядка

Рассмотрим частный случай коррелированности случайных возмущений модели наблюдений, а именно автокорреляцию первого порядка и соответствующее авторегрессионное преобразование.

Пусть для модели наблюдений (5.27) автокорреляция случайных возмущений первого порядка определяется следующим соотношением:

, (5.35)

где – параметр модели случайных возмущений; – случайное возмущение модели (5.29) без автокорреляции. Для того чтобы избавиться от автокорреляции, применим авторегрессионное преобразование первого порядка. Ограничимся случаем модели

, (5.36)

в которой случайное возмущение определяется соотношением (5.35). Модель наблюдений для момента i-1 будет определяться равенством

. (5.37)

Умножим обе части уравнения (5.37) на параметр и вычтем почленно из выражения (5.36):

. (5.38)

После приведения подобных в модели (5.38) получим модель, в которой случайное возмущение удовлетворяет соответствующему условию Гаусса–Маркова (т. е. автокорреляция отсутствует)

. (5.39)

В модели (5.39) можно обозначить через и применить стандартный МНК.

При неизвестном значении приходится пользоваться его оценкой. Применяя МНК к модели (5.36), получаем остатки. Далее по полученным значениям остатков строится модель

. (5.40)

Применяя к этой модели МНК, получаем оценку , которая используется для авторегрессионного преобразования.