Методы преодоления гетероскедастичности

Основным приемом преодоления гетероскедастичности является нормировка. Если известно, что

, (5.17)

то можно разделить обе части модели наблюдений на :

. (5.18)

Обозначим

. (5.19)

Таким образом, проведена нормировка модели наблюдений, теперь

(5.20)

и имеет место свойство гомоскедастичности.

После переобозначения переменных в модели (5.18) к ней можно применить стандартный МНК.

На практике нормировка производится с использованием абсолютных значений остатков вместо средних квадратических отклонений.

Одним из методов преодоления гетероскедастичности является также использование взвешенного МНК (см. п. 4.8.2).

Проблема автокорреляции (ак): понятие, методы обнаружения, способы преодоления проблемы, авторегрессионное преобразование первого порядка Понятие автокорреляции

Все полученные ранее выводы основывались на предположении о том, что случайные остатки для разных наблюдений некоррелированны:

. (5.21)

Однако это условие не всегда выполнено на практике. Основная причина – постоянное однонаправленное воздействие на объясняемую переменную факторов, не учтенных в модели. В таком случае модели называются моделями с наличием автокорреляции.

Выделяют два основных вида автокорреляции: положительную и отрицательную.

Положительная автокорреляция проявляется в чередовании зон, где наблюдаемые значения оказываются выше объясненных (предсказанных), и зон, где наблюдаемые значения ниже.

Отрицательная автокорреляция встречается в тех случаях, когда наблюдения действуют друг на друга по принципу «маятника» – завышенные значения в предыдущих наблюдениях приводят к занижению их в наблюдениях последующих. Графически это выражается в том, что результаты наблюдений «слишком часто» «перескакивают» через график объясненной части [6].

В случае так называемой автокорреляции первого порядка

(5.22)

где для «знак» автокорреляции определяется знаком коэффициента . При наличии автокорреляции оценки стандартного МНК остаются несмещенными и состоятельными, но перестают быть эффективными. Эффективные оценки могут быть получены с помощью обобщенного МНК (см. параграф 4.8).

Методы обнаружения автокорреляции

Для определения наличия автокорреляции в модели используется тест Дарбина–Уотсона. Этот критерий определяет наличие автокорреляции между соседними членами.

Тест Дарбина–Уотсона основан на простой идее: если корреляция ошибок регрессии не равна нулю, то она присутствует и в остатках регрессии , получающихся в результате применения обычного метода наименьших квадратов. В тесте Дарбина–Уотсона для оценки корреляции используется статистика вида

(5.23)

(иногда используется обозначение DW).

Справедливо следующее свойство этой статистики:

=

= , (5.24)

где – коэффициент корреляции между двумя соседними остатками. Таким образом, предельное значение статистики лежит в пределах [0;4]. Естественно, что в случае отсутствия автокорреляции коэффициент окажется несильно отличающимся от нуля, а значение статистики будет близко к 2. Близость значения статистики к 0 должна означать наличие положительной автокорреляции, к 4 – отрицательной. Возникает вопрос о соответствующих пороговых значениях, которые присутствуют в статистических критериях и позволяют либо принять гипотезу, либо ее отвергнуть. К сожалению, в данном случае такие пороговые (критические) значения однозначно указать невозможно.

Тест Дарбина–Уотсона имеет один существенный недостаток – распределение статистики зависит не только от числа наблюдений, но и от значений регрессоров . Это означает, что тест Дарбина–Уотсона, вообще говоря, не представляет собой статистический критерий в том смысле, что нельзя указать критическую область, которая позволяла бы отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, если бы оказалось, что в эту область попало наблюдаемое значение статистики d [6].

Тем не менее, существует два пороговых значения и , зависящие только от числа наблюдений, числа регрессоров и уровня значимости, с помощью которых можно сформулировать следующие правила [6]. Пусть – фактическое (вычисленное) значение статистики.

а) Если , то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается (принимается);

б) или , то вопрос об отклонении или принятии гипотезы остается открытым (область неопределенности критерия);

в) , то принимается альтернативная гипотеза о положительной автокорреляции;

г) , то принимается альтернативная гипотеза об отрицательной автокорреляции.

На рис. 5.2 дана графическая иллюстрация этих правил.