Проблема гетероскедастичности: понятие, тесты на гетероскедастичность, способы преодоления проблемы Понятие гетероскедастичности
Если
обнаруживается, что дисперсии ошибок
в наблюдениях не равны между собой
(нарушается одно из условий Гаусса –
Маркова), то говорят, что модель
гетероскедастична. При отсутствии
корреляции случайных возмущений (
при
)
ковариационная матрица вектора возмущений
имеет вид
.
Если
дисперсии возмущений
известны, то гетероскедастичность легко
устраняется переходом к новым переменным:
,
.
На
практике, однако, значения
не известны, поэтому при переходе к
новым переменным значения
следует заменить их состоятельными
оценками
.
При наличии гетероскедастичнности оценки обычного МНК и прогнозы на основе модели остаются несмещенными и состоятельными, однако точечные оценки параметров перестают быть наилучшими (теряют свойство эффективности).
Игнорирование проблемы гетероскедастичности приводит к ошибочным значениям точечных оценок и концов доверительных интервалов, а также к неправильным результатам проверки гипотез.
Тесты на наличие в модели гетероскедастичности
1) Тест ранговой корреляции Спирмена
Этот тест использует наиболее общие предположения о зависимости дисперсий ошибок регрессии от значений регрессоров:
. (5.8)
При
этом никаких дополнительных предположений
относительно вида функции
,
кроме ее монотонности, не делается. Не
накладываются также ограничения на
закон распределения возмущений (ошибок)
регрессии
.
Идея
теста заключается в том, что абсолютные
величины остатков регрессии
являются оценками
,
поэтому в случае гетероскедастичности
абсолютные величины остатков
и значения регрессоров
будут коррелированны.
Для нахождения коэффициента ранговой корреляции следует ранжировать наблюдения по значениям переменной и остатков и вычислить по формуле
, (5.9)
где – разность между рангами значений и [6].
Рангом -го значения переменной называется номер этого значения в списке всех значений, упорядоченных по возрастанию.
Сформулируем проверяемые гипотезы.
Основная гипотеза : отсутствие гетероскедастичности.
Альтернативная гипотеза : гетероскедастичность в модели присутствует.
Статистика
(5.10)
при
больших
распределена по закону Стьюдента
,
правила принятия гипотез выглядят
следующим образом:
Если , то гипотеза отклоняется, т.е. в модели с вероятностью 1- присутствует гетероскедастичность.
Если , то гипотеза принимается, т. е. в модели с вероятностью 1- отсутствует гетероскедастичность.
Здесь – двустороннее критическое значение распределения Стьюдента , соответствующее уровню значимости .
2) Тест Голдфелда–Квандта
Этот тест применяется в том случае, если ошибки регрессии можно считать нормально распределенными случайными величинами.
Предположим, что средние квадратические (стандартные) отклонения возмущений пропорциональны значениям объясняющей переменной , – это означает постоянство часто встречающегося на практике относительного (а не абсолютного, как в классической модели) разброса возмущений регрессионной модели [6].
Упорядочим
наблюдений в порядке возрастания
значений регрессора x
и выберем
первых и
последних наблюдений, где
.
Далее для первой и третьей частей выборки
строим уравнения регрессии с помощью
МНК и находим суммы квадратов остатков.
Статистика
, (5.11)
где
и
– суммы квадратов остатков, соответствующие
третьей и первой подвыборке соответственно,
имеет распределение Фишера со степенями
свободы
.
Основная гипотеза : отсутствие гетероскедастичности.
Альтернативная гипотеза : гетероскедастичность в модели присутствует.
Правила проверки этих гипотез формулируются следующим образом:
Если
,
то принимается
,
т.е. гетероскедастичность с вероятностью
1-
отсутствует.
Если
,
то принимается
,
т.е. гетероскедастичность с вероятностью
1-
присутствует.
3) Тест Глейзера
Тест ранговой корреляции Спирмена и тест Голдфелда–Квандта позволяют обнаружить лишь само наличие гетероскедастичности, но они не дают возможности проследить количественный характер зависимости дисперсий ошибок регрессии от значений регрессоров и, следовательно, не предоставляют каких-либо способов устранения гетероскедастичности.
Очевидно, для продвижения к этой цели необходимы некоторые дополнительные предположения относительно характера гетероскедастичности. В самом деле, без подобных предположений, очевидно, невозможно было бы оценить параметров ( дисперсий ошибок регрессии ) с помощью наблюдений [6].
Реально
наблюдаются пары значений
.
Сделаем предположение о том, что остатки
линейно зависят от значений переменной
.
Таким образом, имеем модель наблюдений
. (5.12)
Применяя к модели наблюдений (5.12) МНК, найдем оценки параметров и и получим уравнение регрессии:
. (5.13)
Для оценки значимости параметра используется -тест.
Сформулируем гипотезы.
Основная гипотеза : отсутствие гетероскедастичности.
Альтернативная гипотеза : гетероскедастичность в модели присутствует.
Статистика
(5.14)
имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.
Правила проверки гипотез выглядят следующим образом:
Если , то не значим, принимается , т.е. гетероскедастичность отсутствует с вероятностью 1- .
Если , то значим, принимается , т.е. гетероскедастичность присутствует с вероятностью 1- .
Считается целесообразным использовать и другие модели регрессии остатков (помимо линейной):
,
γ
< 1 (5.15)
или
,
(5.16)
Для
применения МНК к моделям (5.15) и (5.16)
необходимо провести замену переменных
.
При применении теста Глейзера к нескольким моделям регрессии остатков предпочтение отдается той модели, в которой оказывается максимальной -статистика соответствующего коэффициента.