Геометрическая интерпретация точности прогноза

Запишем (3.110) в виде

. (3.111)

Обозначая через отклонение оценочных прогнозных значений от истинных, опишем границы доверительного интервала для каждого :

, (3.112)

, (3.113)

. (3.114)

Обозначая через А² и В² знаменатели дробей в левой части уравнения (3.114), получим уравнение гиперболы:

. (3.115)

Рис. 3.2

В каждом сечении концы доверительного интервала для разности лежат на ветвях построенной гиперболы (рис. 3.2).

Геометрический подход к нахождению коэффициентов линейной регрессии

Пусть > 2,

– вектор наблюдаемых значений объясняемой переменной,

– вектор наблюдаемых значений объясняющей переменной,

;

 вектор остатков, .

Обозначим через – линейную оболочку векторов и :

Для любых и

. (3.116)

Реализация МНК – нахождение таких и , которые минимизируют норму – расстояние от заданного вектора до плоскости :

, (3.117)

или

(3.118)

по всем .

Как известно, решение этой задачи – это ортогональная проекция вектора наблюдаемых значений на плоскость линейной оболочки : = ( рис. 3.3) и

, (3.119)

где – скалярное произведение векторов и .

Из условия ортогональности получаем систему нормальных уравнений (два условия ортогональности)

(3.120)

или, переходя к покомпонентной записи,

(3.121)

Эта система совпадает с системой (3.14), полученной из других соображений.

Рис. 3.3

4. Линейная множественная регрессия

Экономические явления, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим часто возникает задача исследования зависимости одной зависимой переменной от нескольких объясняющих переменных.

Общее назначение множественной регрессии состоит в анализе статистической связи между зависимой переменной и независимыми переменными.

Описание модели линейной множественной регрессии

Модель наблюдений для множественной линейной регрессии имеет вид

(4.1)

где – объясняемая переменная, , – объясняющие переменные (регрессоры), – значение переменной в -ом наблюдении.

Детерминированная составляющая – линейная функция независимых переменных:

, (4.2)

– параметры регрессии – предельная эффективность независимых переменных; – случайная составляющая.

Расчетные (выровненные, модельные) значения объясняемой переменной определяются оценками

, . (4.3)

Модель линейной регрессии, используемая для прогнозирования, определяется равенством

. (4.4)

Параметр , показывает, на сколько единиц в среднем возрастает зависимая переменная, если -я независимая переменная возрастет на единицу, а остальные останутся неизменными.

Отметим, что объясняющие переменные – неслучайные величины, наблюдаемые значения – случайные величины, поскольку в их состав наряду с детерминированной составляющей входят и случайные составляющие.

Случайная составляющая отражает влияние на зависимую переменную большого числа факторов, которые не вошли в детерминированную составляющую, при этом влияние каждого из них в отдельности считается незначительным.