Идентификация модели (нахождение точечных оценок параметров)

Оценка параметров регрессии (идентификация) проводится либо по пространственной , либо по временной выборке . В первом случае носителями информации выступают разные (но в определенном смысле однотипные) экономические объекты, рассматриваемые в один и тот же момент времени. Во втором случае носителем информации служит один и тот же объект в разные моменты времени. Реже используется пространственно- временная выборка.

Итак, пусть для определенности имеется конкретная пространственная выборка объема : , .

Для получения оценок и применяется метод наименьших квадратов (МНК): находятся такие значения, при которых оказывается наименьшей сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от соответствующих выровненных значений :

(3.6)

Величины

(3.7)

называются остатками. Таким образом,

. (3.8)

Следует подчеркнуть, что

(3.9)

Необходимые и достаточные условия минимума суммы квадратов остатков. Система нормальных уравнений

Напомним известные условия локального минимума для функции двух переменных применительно к функции .

Пусть – точка локального минимума для :

. (3.10)

Тогда в точке выполняются условия

. (3.11)

Точка , удовлетворяющая (3.11), является точкой минимума, если в этой точке

и . (3.12)

Условия (3.11) в данном случае принимают вид системы

(3.13)

или, что эквивалентно,

(3.14)

Система (3.14) называется системой нормальных уравнений (СНУ).

Непосредственной проверкой можно убедиться, что в данном случае условия (3.12) выполнены, поэтому единственное решение СНУ (3.14) определяет единственную точку локального и глобального минимума, и, таким образом, и – искомые оценки МНК.

Система (3.14) легко решается методом последовательного исключения неизвестных: из первого уравнения получаем

(3.15)

или

(3.16)

С учетом этого из второго уравнения находим

(3.17)

и окончательно

. (3.18)

В дальнейшем всюду оценки (3.17) и (3.18), полученные методом наименьших квадратов, будем обозначать, опуская индекс 0, через и .

Легко убедиться, что

(3.19)

Замечание.

Из первого уравнения (3.14) следует, что , таким образом, выровненная прямая проходит через точку .

Свойства оценок мнк

Свойства оценок МНК (3.17) и (3.18) определяются предположениями относительно свойств случайного возмущения в модели наблюдений. Эти предположения называются обычно условиями Гаусса – Маркова.

Условия Гаусса–Маркова

1) . (3.20)

Это условие относительно того, как случайное возмущение входит в модель наблюдений.

2) (3.21)

Это условие гарантирует несмещенность оценок МНК.

3) . (3.22)

Это условие гомоскедастичности, его нарушение приводит к проблеме гетероскедастичности (см. параграф 5.2).

4) для всех . (3.23)

Это условие отсутствия автокорреляции. Оно предполагает отсутствие систематической связи между значениями случайного члена в любых двух наблюдениях. Например, если случайный член велик и положителен в одном наблюдении, это не должно обуславливать систематическую тенденцию к тому, что он будет большим и положительным в следующем наблюдении (или большим и отрицательным, или малым и положительным, или малым и отрицательным). Случайные члены предполагаются независимыми друг от друга. Если данное условие не выполняется, то в модели возникает проблема автокорреляции случайных возмущений (см. параграф 5.3).

5) для всех и . (3.24)

Это условие независимости случайного возмущения и объясняющей переменной. Значение любой независимой переменной в каждом наблюдении должно считаться экзогенным, полностью определяемым внешними причинами, не учитываемыми в уравнении регрессии.