Правила проверки гипотез относительно параметров нормального распределения

Уровень значимости предполагается заданным.

Проверка гипотезы относительно при известном

Основная гипотеза : .

Конкурирующих гипотез здесь может быть три:

, (2.78)

, (2.79)

. (2.80)

Статистика

(2.81)

распределена по стандартному нормальному закону.

Правила принятия :

для случая (2.78), (2.82)

для случая (2.79), (2.83)

для случая (2.80). (2.84)

Примечание:

Мощность критерия определяется следующими соотношениями:

для случая (2.78), (2.85)

для случая (2.79), (2.86)

для случая (2.80) . (2.87)

Здесь – верхнее двустороннее критическое значение распределения ,

– предполагаемое значение согласно гипотезе ,

– предполагаемое значение согласно гипотезе .

Проверка гипотезы относительно a при неизвестном

Основная гипотеза : .

Конкурирующих гипотез здесь может быть три:

, (2.88)

, (2.89)

. (2.90)

Статистика

(2.91)

распределена по закону Стьюдента с числом степеней свободы .

Правила принятия :

для случая (2.88), (2.92)

для случая (2.89), (2.93)

для случая (2.90). (2.94)

Примечание:

– уровень значимости,

– верхнее двустороннее критическое значение для распределения ,

(2.95)

Проверка гипотезы относительно при неизвестном

Основная гипотеза : .

Конкурирующих гипотез здесь может быть три:

, (2.96)

, (2.97)

. (2.98)

Статистика

(2.99)

распределена по закону Хи-квадрат с числом степеней свободы .

Правила принятия :

для случая (2.96), (2.100)

для случая (2.97), (2.101)

для случая (2.98). (2.102)

Примечание:

определяется равенством (2.95),

, – нижнее (верхнее) критическое значение распределения .

Проверка гипотезы относительно  (при n>10)

Основная гипотеза : .

Конкурирующих гипотез здесь может быть три:

, (2.103)

, (2.104)

. (2.105)

Статистика

(2.106)

распределена по закону, асимптотически (при ) стремящемуся к стандартному нормальному распределению.

Правила принятия :

для случая (2.103), (2.107)

для случая (2.104), (2.108)

для случая (2.105). (2.109)

Примечание:

определяется равенствами (2.20), (2.21), где

, (2.110)

. (2.111)

Если в основной гипотезе , то в случае, если эта гипотеза принимается (после применения соответственного правила), связь между и считается статистически незначимой.

Примечание 1

Связь правил проверки гипотез с интервальными оценками (на примере гипотезы : ) отражена на рис. 2.7,

Рис. 2.7

где ДИ – доверительный интервал.

Примечание 2 (относительно ошибки второго рода)

Воспользуемся равенством (2.85):

,

откуда имеем

. (2.112)

Таким образом

. (2.113)

Уравнение (2.113) решается однозначно относительно любого параметра в случае, когда все остальные параметры заданы.

3. Линейная парная регрессия Постановка задачи

В экономических исследованиях реальных процессов часто возникает задача определения такой зависимости одной переменной (показателя) от других, которая дает наилучшее (в смысле МНК) приближение к исходным данным (см. примеры 1.3.1 – 1.3.5). Методы построения такого приближения составляют основное содержание регрессионного анализа, занимающего центральное место в эконометрике.

В общем случае регрессионный анализ предполагает установление формы зависимости между переменными и оценку параметров такой зависимости. В этой главе рассматривается простейший класс эконометрических (регрессионных) моделей, относящийся к случаю линейной зависимости случайной переменной Y от одной неслучайной переменной (регрессора) .

Для обеспечения единообразия обозначений ниже случайную зависимую переменную будем обозначать буквой (вместо ). Зависимую переменную называют также объясняемой, выходной, эндогенной, а независимую – объясняющей, входной, экзогенной. Независимую переменную будем обозначать (вместо ).

Модель парной линейной регрессии имеет вид

, (3.1)

где – зависимая, объясняемая переменная (предиктор),

– независимая, объясняющая переменная (регрессор),

– детерминированная составляющая,

, (3.2)

 – случайная составляющая, характеризующая отклонение от функции регрессии.

В силу воздействия неучтенных случайных факторов и причин отдельные наблюдения переменной будут в большей или меньшей мере отклоняться от функции регрессии (3.2). Параметр показывает, на сколько единиц в среднем изменится зависимая переменная (например, выпуск продукции в стоимостном выражении), если независимая переменная (например, число занятых) увеличится на единицу.

Таким образом, в линейной регрессионной модели зависимая переменная есть линейная функция (3.2) с точностью до случайного возмущения.

Параметры (коэффициенты) детерминированной составляющей – числа и – неизвестны, поэтому задача состоит в том, чтобы найти оценки и для и соответственно, наилучшие в смысле метода наименьших квадратов (см. параграф 3.2), и таким образом построить наилучшую оценочную регрессионную модель

, (3.3)

где является оценкой значений переменной .

Эта задача решается по результатам наблюдений за переменными и : Число называется объемом выборки наблюдаемых значений.

Модели (3.1) соответствует следующая модель наблюдений:

, (3.4)

Модель (3.3) порождает совокупность так называемых выровненных (модельных) значений:

(3.5)

Все точки лежат на одной прямой (3.3) (см. рис. 3.1), чем и объясняется термин «выровненные».

Рис. 3.1

Так как изменение только одной независимой переменной , вообще говоря, не может отражать влияние всех источников вариации зависимой переменной , то случайная составляющая  отражает совокупное влияние на зависимую переменную всех других (кроме ) факторов.