2 Стандартная схема статистического моделирования

Поставленная задача решалась с использованием итерационного алгоритма статистического моделирования [1]. Данный алгоритм включает в себя следующие действия:

1. Проведение начальной серии опытов объемом N>=100, накопление сумм и вычисление оценок математического ожидания m^*_x и дисперсии D^*_x :

, (6)

, (7)

где x_i – решение исходного дифференциального уравнения (1), находимое методом Эйлера с шагом h=0.01.

2. Получение оценки требуемого количества опытов:

. (8)

3. Проверка условия окончания вычислений

. (9)

4. Проведение дополнительной серии опытов и уточнение оценок математического ожидания m^*_x и дисперсии D^*_x , найденных по формулам (6) и (7) в случае невыполнения условия (9):

, (10)

. (11)

5. Уточнение оценки требуемого количества опытов , найденное по формуле (8) с учетом новых значений математического ожидания и дисперсии, полученных по формулам (10) и (11):

.

6. Повторная проверка условия (9), и, в случае его невыполнения, возврат к пункту 4 для очередного проведения дополнительных серий опытов и уточнения найденных результатов.

Провели начальную серию опытов n = 400. Накопили суммы и : Вычислили оценки математического ожидания и дисперсии по (6) и (7): Получили оценку требуемого количества опытов по (8):

Так как , то провели дополнительную серию опытов Для того, чтобы не проводилось лишнее число опытов искусственно уменьшили n^’ в 2 раза. Таким образом, опытов. Вновь накопили суммы , и уточнили оценки математического ожидания и дисперсии по (9) и (10): Тогда оценка требуемого количества опытов получилась: Значение n = 11778+200=11978 опытов.

После данной итерации 11978<21100, следовательно, продолжили выполнение итерационного алгоритма. Получили следующие результаты:

.

Проверили выполнение условия . Данное условие не выполнилось, так как 21398>21377, следовательно, алгоритм завершил работу.

Окончательные результаты :

Дифференциальное уравнение (1) решается численным интегрированием методом Эйлера первого порядка [4] с шагом 0.001. Программа, реализующая итерационный алгоритм, написана в среде Borland Delphi 7 [5]. Текст программы представлен в Приложении 1.

3.Метод Выделения главной части.

Требуемое число опытов для решения поставленной задачи с заданной точностью можно уменьшить, если воспользоваться одним из методов снижения трудоемкости статического моделирования. В качестве такого метода рассмотрим метод выделения главной части. [1]

Решение системы (12)

которое возможно не может быть найдено аналитически, заменяют приближённым выражением , удобным для аналитических преобразований.

Вводится новая переменная состояния и в системе уравнений (12) выполняется замена переменной на Z путём подстановки:

(13)

(14)

или

,

.

Оценка искомого математического ожидания определяется в виде:

m_x=M[Y(t₁,V)]+M[Z(t₁,V)], (15)

где первое слагаемое может быть найдено аналитически:

,

G - область возможных значений вектора V, а второе слагаемое определяется по методу статистического моделирования на основе многократного решения полученной новой системы уравнений до момента времени t₁: , , V ⁽ⁱ⁾ - i-я реализация вектора случайных параметров, N - количество решений системы уравнений для различных V ⁽ⁱ⁾.

При удачном выборе функции Y(t,V) дисперсия случайной величины Z(t₁,V) может оказаться существенно меньше, чем дисперсия X₁(t₁,V), что и приведет к сокращению требуемого количества опытов.