1.2 Задача линейного программирования

Параметры описывающие состояние изучение систем предполагаются независимыми и обозначаются (x_1,x_2,…x_n).

В роли параметров могут выступать количество материалов или времени затраченных на производство конкретного продукта, нормы расхода сырья и т.д.

Отличительной особенностью задач линейного программирования образуют подмножество задач математического программирования, являются то, что цель задачи и ее ограничения представлены в виде линейных функций (т.е. показатель степени искомых переменных х=1).

Вычисления extrлинейной функции при условии, что искомые переменные удовлетворяют линейным ограничениям составляет предмет линейного программирования. Основой ЗЛП является нахождение таких значений переменных = (x_1,x_2,…x_n), которая приводит целевую функцию f к экстремальному значению.

Модель ЗЛП

Необходимо найти экстремальное значение целевой функции:

f (x) = c₁x₁ + c₂x₂ + …+ c_nx_n → extr, при условиях ограничений

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n ≤b₁

…..

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n≤ b_m,

и требовании не отрицательности параметров

x_i≥ 0; i =1 n;

a_ij, c_i,b_j – const – постоянные величины, j =1÷m; b_j ≥ 0.

Совокупность чисел = (x_1,x_2,…x_n), удовлетворяющих ограничениям задачи, называется допустимым решением, планом, областью допустимых решений.

Допустимое решение, приводящее целевую функцию к max или min значению называются оптимальным решением (оптимальным планом).

Если ЗЛП имеет хотя бы одно допустимое решение, то ее ограничения называют совместимыми, в противном случае – несовместимыми.

1.3 Каноническая форма модели злп

Ограничение ЗЛП общего вида могут быть «меньше», «больше» или «равно». Целевая функция может минимизироваться или максимизироваться. Для удобства решения разнообразных моделей ЗЛП определенным общим способом любые модели ЗЛП приводят к единой или канонической форме (КФ).

Считается, что задача линейного программирования записана в КФ если:

1. Ее целевая функция максимизируется.

2. Ограничения задачи имеют вид строго равенства с неотрицательной правой частью.

3. Все переменные в модели не отрицательные.

Т аким образом КФ модели ЗЛП имеет вид: f(x) = c₁x₁ + c₂x₂ + …+ c_nx_n → max

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₂₂ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

…..

a_m1x_{1 +} a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m

x_i≥ 0; i =1 n

b_j ≥ 0; j =1 m

В матричной форме каноническая форма выглядит так:

f(x) = → max

A =

≥ 0, где

А =

A = m n

– вектор-сторока

вектор-строка

= – вектор-столбец

Эта запись говорит о том, что требуется найти , удовлетворяющий ограничениям вида = , x_i ≥ 0; i =1 n и обеспечивающий максимальное значение функции → max, сумма произведений неизвестных в целевой функции на коэффициенты.

Требование максимизации целевой функции при приведении модели к КФ связано с тем, что методика решения задач с f(x) → min отличается от методики решения задач с f(x) → max. Для удобства решения задач обоих типов по единому алгоритму выдвигается требование максимизации целевой функции.

Самый распространенный метод решения ЗЛП – симплекс-метод. Симплексом называется выражение вида c₁x₁ + c₂x₂ + … + c_nx_n или другими словами сумма парных векторов и .

Приведем к КФ задачи разного вида:

1. f(x) = c₁x₁ + c₂x₂ + …+ c_nx_n → max

a ₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n b₁

…..

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n ≤ b_m

x_i≥ 0; i =1 n

b_j ≥ 0; j =1 m

КФ

f(x) = c₁x₁ + c₂x₂ + … + c_nx_n + x_n+1 + … + x_n+m → max

a ₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n + x_n+1 = b₁

…..

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n+ x_n+m= b_m

x_i≥ 0; i =1 m+n

b_j ≥ 0; j =1 m

x_n+1 x_n+m называются дополнительными. Если ограничение в исходной математической модели задачи задано со знаком =, то в него не вводят дополнительную переменную.

2. f(x) = c₁x₁ + c₂x₂ + …+ c_nx_n → min

a ₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n b₁

…..

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n ≥ b_m

x_i≥ 0; i =1 n

b_j ≥ 0; j =1 m

Определение min значения функции f(x) можно свести к нахождению max значения функции –f(x). Таким образом при приведении к КФ модели такого вида необходимы коэффициенты при неизвестных в целевой функции умножить на (-1).

КФ

f(x) = (c₁x₁ + c₂x₂ + … + c_nx_n) + x_n+1 + … + x_n+m → max

Чтобы привести к строгому равенству ограничения вида ≥ надо из левой части каждого ограничения вычесть неотрицательные целые переменные x_n+1, x_n+2 … x_n+m, тогда после приведения к КФ задача будет иметь вид:

a ₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n x_n+1 = b₁

…..

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n x_n+m= b_m

x_i≥ 0; i =1 m+n

b_j ≥ 0; j =1 m