3.2. Численное дифференцирование при равноотстоящих узлах

В этом случае в качестве аппроксимирующей функции выбирается многочлен в зависимости от положения точки и значения переменной , которая осуществляет связь с переменной . В качестве интерполирующей функции можно выбрать один из интерполяционных многочленов, описанных в разделе 2.14.

Пусть точка , в которой необходимо выполнить операцию численного дифференцирования находится в средине таблицы и для справедливо . Тогда выберем формулу Стирлинга:

(3.13)

Дифференцируя по левую и правую части равенства (3.13), учитывая связь между и , получим:

. (3.14)

Для второй производной имеем:

. (3.15)

Рассмотрим задачу вычисления первой производной по формуле (3.14), в которой будут учитываться только первых два слагаемых. Тогда для частного случая дифференцирования в точке (в этом случае ) получим:

, (3.16)

где

. (3.17)

Формула (3.17) получена в результате дифференцирования остаточного члена формулы Стирлинга и вычисления его в точке . В силу (3.17) погрешность метода численного дифференцирования имеет вид:

,

где . Погрешность метода с уменьшением шага уменьшается. Расчетная формула вычисления первой производной в точке будет следующей:

. (3.18)

Пусть все табличные значения функции заданы с одинаковой погрешностью , тогда можно оценить неустранимую погрешность, возникающую из-за неточности исходных данных следующим образом:

. (3.19)

Из (3.19) видно, что неустранимая погрешность с уменьшением шага возрастает. Если посмотреть на график полной погрешности (рис. 3.1)

, (3.20)

то можно сделать вывод, что существует оптимальный шаг , обеспечивающий минимум полной погрешности.

Рис. 3.1. Графики погрешностей

Найдем оптимальный шаг, из условия

,

и окончательно получаем

. (3.21)

Отметим, что величину можно оценить по формуле

. (3.22)

Пример. 3.3. Требуется вычислить значение первой производной функции, которая задана в виде следующей таблице:

Таблица 3.4.

	1	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0
	6,246	5,357	4,634	4,036	3,539	3,122

в точке . Необходимо также оценить погрешность метода, неустранимую погрешность, полную погрешность, оптимальный шаг таблицы, считая, что табличные значения функции заданы с верными знаками.

При выполнении расчетов будем использовать конечные разности, приведенные в таблице

Таблица 3.5.

-0,889	0,166	-0,041	0,017	-0,014
-0,723	0,125	-0,024	0,003
-0,598	0,101	-0,021
-0,497	0,080
-0,417

В этом случае для аппроксимации функции можно выбрать формулу Стирлинга при , где . Оценивать производную будем по первому слагаемому от производной формулы Стирлинга. В нашем примере , погрешность табличного значения функции равна . Тогда в соответствии с формулами (3.18)-(3.22) получим следующие результаты:

,

,

,

,

,

.

Расчеты производной первого порядка показали, что производная вычисляется с погрешностью . При этом минимальное значение полной погрешности может быть достигнуто для таблицы с шагом .

Пусть точка , в которой необходимо выполнить операцию численного дифференцирования находится вблизи начала таблицы. Тогда выберем формулу 1-ую формулу Ньютона :

, (3.23)

где .

Дифференцируя (3.23) по получим:

. (3.24)

Вычислим значение первой производной по первым двум слагаемым формулы (3.24), оценим полную погрешность

, (3.25)

,

,

.

Определим оптимальный шаг таблицы для случая, когда производная вычисляется в точке . Тогда учитывая, что , получим из условия минимума полной погрешности , которая в нашем случае равна:

выражение для :

.

Формула (3.25) имеет второй порядок точности, если производную вычислять только по первому слагаемому формулы (3.24), то формула будет иметь первый порядок точности. Минимизируя для этого случая полную погрешность , можно найти значение .

По аналогии с первой производной, можно вычислить производные более высокого порядка:

,

.

При вычислении производных в точке ( ), формулы приобретают простой вид:

,

,

.

Если точка находится вблизи конца таблицы, то для аппроксимации выбирается 2-ая формула Ньютона:

(3.26)

Тогда производная оценивается по формуле:

. (3.27)

Оценим погрешности , и для случая, когда первая производная оценивается по первым двум слагаемым. В результате получим:

, (3.28)

,

,

.

Формула (3.28) имеет второй порядок точности.

Формулы для производных более высокого порядка имеют вид:

,

.

Отметим, что одним из способов уменьшения погрешности численного дифференцирования, является выбор оптимального шага табулирования функции. Другой прием уменьшения погрешности заключается в том, что стачала табличные значения функции, сглаживаются и только затем осуществляется численное дифференцирование. Сглаживание данных можно осуществить с помощью методов скользящего среднего, экспоненциального сглаживания и др.