2.13.5. Эрмитовы сплайны
Эрмитовы сплайны применяют в случае, когда в узловых точках кроме значений функции заданы также и значения ее производных. Если число узлов велико, то применение многочленов Эрмита (см. п. 2.12) приводит к тому, что степень многочлена будет высокой. Применение, в случае кратных узлов, обычных сплайнов может не обеспечить согласование производных сплайна в узлах с заданными производными функции.
Рассмотрим задачу
построения кубического эрмитового
сплайна. В узловых точках
,
задаются значения:
,
.
(2.120)
На интервале , , определим многочлен по аналогии с (2.89):
, (2.121)
где
– многочлен Эрмита, построенный по
узлам
и
,
каждый из которых имеет кратность равную
2. Уравнения для определения коэффициентов
,
,
,
найдем из интерполяционных условий:
,
,
,
.
(2.122)
Тогда, учитывая что , получим уравнения
, (2.123)
,
(2.124)
,
(2.125)
.
(2.126)
Подставив выражения и из (2.123) и (2.125) в (2.124) и (2.126), получим систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов и :
,
.
(2.127)
Решение системы (2.90) имеет вид
,
(2.128)
.
(2.129)
Таким образом,
параметры эрмитова сплайна 3-го порядка
вычисляются по формулам (2.123), (2.125),
(2.128) и (2.129). Так как многочлен
для интервала
строится независимо от остальных
многочленов
(
),то
эрмитовы сплайны называются локальными.
Пример 2.11. Пусть исходные данные приведены в таблице:
Таблица 2.11.
|
1 |
2,5 |
3,5 |
5,5 |
6 |
|
0,9108 |
0,7237 |
-0,2004 |
-0,5184 |
-0,0848 |
|
0,5903 |
-0,7726 |
-0,9142 |
0,7241 |
0,9745 |
Выполнив расчеты параметров эрмитова сплайна по формулам (2.123), (2.125), (2.128) и (2.129) получим результаты, приведенные в следующей таблице:
Таблица 2.12.
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
ai |
0,9108 |
0,7237 |
-0,2004 |
-0,5184 |
bi |
0,5903 |
-0,7726 |
-0,9142 |
0,7241 |
ci |
-0,5215 |
-0,3129 |
0,3136 |
0,3578 |
di |
0,0298 |
0,1614 |
0,0320 |
-0,1432 |
На рис. 2.6 приведены график эрмитова сплайна, а также для сравнения график исходной функции f(x).
Рис. 2.7. Интерполяция эрмитовым сплайном
Эрмитовы сплайны отличаются простотой вычислений и дают неплохие результаты аппроксимации. Если имеется необходимость, можно строить эрмитовы сплайны и других порядков, например, 2-го, 4-го и др.