2.11. Интерполирование с кратными узлами

Пусть на интервале располагаются узлов интерполирования и пусть в этих узлах заданы не только значения функции , , но и значения некоторых ее производных , . Такие узлы называются кратными узлами ( – кратность узла , если при этом равно 1, то такой узел называется однократным). Будем предполагать, что сумма кратностей узлов равна . Аппроксимирующий многочлен степени , построенный на основе выполнения следующих условий

, , , (2.43)

называется интерполяционным многочленом Эрмита. По определению считается, что и .

Если задать многочлен Эрмита в виде

, (2.44)

то неизвестные коэффициенты ( ) можно определить из системы линейных уравнений:

, ,…, ,

, ,…, ,

, ,…, . (2.45)

Система уравнений (2.45) состоит из уравнения и содержит неизвестный параметр.

Отметим, что можно доказать единственность и существование интерполяционного многочлена Эрмита.

Для определения остаточного члена многочлена Эрмита можно воспользоваться теоремой.

Теорема 2.3. Если непрерывная и раз кратно дифференцируемая функция на интервале , то существует некоторая точка , такая что остаточный член многочлена Эрмита равен:

, (2.46)

где , .

Доказательство этой теоремы может быть выполнено по аналогии с доказательством теоремы 2.1.

2.12. Интерполирование при равноотстоящих узлах

2.12.1. Конечные разности

Будем предполагать, что заданы табличные значения функции , где – равноотстоящие узлы, – шаг таблицы.

Введем понятие конечной разности

(2.47)

Исследуем влияние погрешности табличных значений на погрешность конечных разностей. Пусть все заданы с одинаковой абсолютной погрешностью В силу формулы (2.47) конечная разность 1-го порядка будет вычислена с погрешностью , конечная разность 2-го порядка – с погрешностью , и далее конечная разность s-го порядка вычисляется с погрешностью

Если функция гладкая, то разности убывают с ростом j и для некоторого они незначительно отличаются между собой, а при разности практически равны нулю. Так как с ростом порядка конечных разностей растет их погрешность, то таблица разностей искажается. Запишем правило определения максимального порядка разностей, которые ведут себя правильно. Если

и (2.48)

то максимальный порядок разностей, которые ведут себя правильно, равен j (или максимальный порядок правильных конечных разностей равен j). Конечные разности -го порядка уже меньше погрешности, с которой они вычисляются, поэтому их использование приводит к искажению результата.

В дальнейшем нам потребуются свойства разделенных разностей.

Свойство 1:

. (2.49)

Доказательство этого свойства можно выполнить достаточно просто методом математической индукции.

Замечание 2.1. Ранее было доказано, что разделенные разности являются симметричными функциями своих аргументов (см. п. 2.5, следствие 1), поэтому нижний индекс конечной разности в (2.49) определяется по минимальному номеру узлов, используемых для вычисления разделенной разности.

Свойство 2: Если функция имеет на интервале непрерывные производные порядка n и имеется таблица значений этой функции на этом интервале, то существует такая точка , для которой справедливо равенство

(2.50)

Доказательство соотношения (2.50) следует из свойства 1 (формула 2.49) и формулы (2.28).