Пример29.1.

В гильбертовом пространстве L² [-;] функций суммируемых с квадратом модуля на отрезке [-;] функции 1, cos t, sin t, sin 2t,… образуют ортогональный базис. Однако эта система функций не является нормированной.

Пример29.2.

Пусть векторы х и у ортогональны, тогда по аналогии с элементарной геометрией вектор х+у можно назвать гипотенузой прямоугольного треугольника, построенного на векторах х и у. Умножая х+у скалярно на себя и используя ортогональность векторов х и у, мы получаем .

Мы доказали тем самым в общем гильбертовом пространстве теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Нетрудно обобщить эту теорему на случай любого конечного числа слагаемых. Именно пусть векторы х₁, х₂, …, х_k взаимно ортогональны и z= х₁+ х₂+ …+ х_k , тогда .

Интегралы, зависящие от параметров

Интегралы вида х=(х₁, х₂, …, х_m) называются интегралами, зависящими от параметров х₁, х₂, …, х_m.

Теорема 29.3.

Пусть функция f(x,y), х=(х₁, х₂, …, х_m) непрерывна на множестве ayb, xA, где А – замкнутое ограниченное множество. Тогда интеграл является непрерывной функцией на множестве А.

Если m=1, то в качестве множества А в теореме можно взять сегмент [c,d]. Рассмотрим теперь, при каких условиях интегралы, зависящие от параметров, можно дифференцировать по параметрам. Для простоты ограничимся случаем интегралов G(x), которые зависят от одного параметра.

Теорема 29.4.

Пусть причем функция f(x,y) и частная производная непрерывны при у[a,b], x[c,d]. Тогда на сегменте [c,d] существует производная и ее можно вычислить, производя дифференцирование под знаком интеграла, т.е. .

Аналогично можно для интегралов, зависящих от нескольких параметров, доказать следующую теорему: пусть х=(х₁, х₂, …, х_m) причем функция f(x,y) и частная производная непрерывны при у[a,b], хА, где А – выпуклое замкнутое ограниченное множество. Тогда на множестве А существует частная производная и ее можно вычислить, производя дифференцирование под знаком интеграла, т.е. .

Рассмотрим интегралы вида . Если функция f(x,y) и частная производная непрерывны при у[a,b], хА, а функции (х) и (х) имеют частные производные по переменной х_k, то .

При интегрировании по параметру интеграла, зависящего от параметра, используется следующая теорема.

Теорема 29.5.

Пусть функция f(x,y) непрерывна при схd, ayb и тогда при вычислении интеграла можно производить интегрирование по параметру под знаком интеграла, определяющего функцию G(x), т.е. .

Пример 29.3.

Функция cos(ux) непрерывна в плоскости IR². Следовательно функция (u)= непрерывна всюду. Значит, , т.е. мы опять получаем первый замечательный предел

Пример 29.4.

Пусть f(x,t)=x^t, x[0,1], t[,] ( 0]; можно согласно теореме 3 составить равенство . Вычисляя внутренние интегралы, находим значение определенного интеграла .

Это значение трудно найти обычными приемами интегрирования, поскольку неопределенный интеграл от не выражается в элементарных функциях.