Лекция 29. Ряды Фурье по ортогональным системам

Пусть в бесконечномерном пространстве Е со скалярным произведением дана ортогональная система (_k), т.е. _k  0, k=1,2,…; (_k, _l)=0 при l  k. Ряд вида называется рядом по ортогональной системе (_k). Пусть хЕ. Числа коэффициентами Фурье элемента х по ортогональной системе (_k), а ряд называется рядом Фурье (по ортогональной системе (_k)), составленным для элемента х (ряд элемента х). Многочлен - частичная сумма ряда Фурье – называется многочленом Фурье (элемента х).

Возьмем теперь первые n векторов ортогональной системы (_k): ₁, ₂,…, _n. Образуем всевозможные их линейные комбинации вида . В результате мы получаем n-мерное подпространство L_n в Е. Иногда говорят, что L_n натянуто на ₁, ₂,…, _n, или что L_n является линейной оболочкой на ₁, ₂,…, _n. Возьмем теперь элемент хЕ и вычислим квадрат расстояния между х и u_n: .

Рассуждения ведутся для случая комплексного Е. В вещественном случае вся выкладки тоже справедливы, но несколько упрощаются. Пользуясь свойствами скалярного произведения, получаем = (х,х) - .

Заметим теперь, что (х, _k)= , где с_k – коэффициент Фурье элемента х.

Следовательно .

Далее, , и мы получаем . Теперь мы можем вычислить d_n=(x,L_n) = , где _n – зависит от , т.е. от n комплексных переменных ₁, ₂,…, _n. Явная формула, полученная для , показывает, что d_n достигается при _k = c_k, k=1,2,…,n. Это свойство коэффициентов с₁, с₂,…, с_n называется экстремальным свойством коэффициентов Фурье. Итак, доказана следующая

Теорема 29.1. Пусть (_k) ортогональная в пространстве со скалярным произведением Е, пусть L_n – подпространство натянутое на ₁, ₂,…, _n. Тогда d_n=(x,L_n), хЕ, дается следующими формулами: , , где c_k, k=1,2,…,n – коэффициенты Фурье элемента х по системе (_k).

Следствие. Если mn, то . Действительно, по формуле .

Осталось воспользоваться формулой .

Итак, наилучшее приближение элемента х посредством элементов из L_n есть многочлен Фурье элемента х: .

Так как , то из формулы следует .

Слева стоит частичная сумма числового ряда с неотрицательными членами, причем оценка верна для любого n.

Ряд с неотрицательными членами сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. Следовательно, из вытекает сходимость ряда и неравенство для его суммы . (4)

Это неравенство называется неравенством Бесселя. Его справедливость доказана для любой ортогональной системы в любом бесконечном пространстве со скалярным произведением.

Следствие. Если то коэффициенты Фурье с_к любого элемента хЕ стремятся к нулю при k.

Равенство Парсеваля – Стеклова

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 29.1. Ортогональная система (_k) из гильбертова пространства Н называется полной, если для любого хН (ряд Фурье, составленный для х, сходится к х).

Полная ортогональная система называется ортогональным базисом гильбертова пространства Н.

Из предыдущего имеем . Отсюда приходим к заключению: для того чтобы система (_k) была полной, необходимо и достаточно, чтобы .

Таким образом, в случае полной системы и только в этом случае неравенство Бесселя превращается в равенство. Это равенство называется равенством Парсеваля-Стеклова. Заметим, что полнота ортогональной системы означает, что ее нельзя дополнить до более широкой ортогональной системы путем присоединения новых элементов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 29.2. Ортогональная нормированная система (_k) называется замкнутой, если для любого хЕ справедливо равенство .

Замкнутость системы (_k) равносильна тому, что для каждого fН частичные суммы ряда Фурье сходятся к f.

Понятие замкнутости ортогональной нормированной системы тесно связано с понятием полноты системы.

Теорема 29.2. В сепарабельном евклидовом пространстве Е всякая полная ортогональная нормированная система является замкнутой и обратно.

Доказательство. Пусть система (_k) замкнута, тогда каков бы ни был элемент хЕ, последовательность частичных сумм его ряда Фурье сходится к f. Это означает, что линейные комбинации элементов системы (_n) полны в Е, т.е. система (_n) полна. Обратно, пусть система (_n) полна, т.е. любой элемент хЕ можно сколь угодно точно аппроксимировать линейной комбинацией элементов системы (_k); частичная сумма ряда Фурье для х дает не менее точную аппроксимацию.

Следовательно, ряд сходится к х, и равенство Парсеваля-Стеклова имеет место.