Вычисление скалярного произведения
1-й способ. Вычисление по определению.
2-й способ. В координатной форме скалярное произведения находится по формуле:
.
В частности, для ортов осей справедлива "таблица скалярного умножения":
Геометрические свойства скалярного произведения
1.
Необходимым и достаточным условием
ортогональности (перпендикулярности)
двух ненулевых векторов является
равенство нулю их скалярного произведения:
ортогонален
;
2.
угол между
векторами тупой;
угол
между векторами острый.
3.
Косинус угла между ненулевыми векторами
и
может быть
вычислен с помощью скалярного произведения
по формуле
.
Рис. 3.12. Углы между векторами
Пример 3.9. Даны три точки в пространстве A(-1; 1; 0), B(2; 5; 0), C(1; 0; 1).
1)
Вычислить
скалярное произведение векторов
.
2) Найти косинус угла между векторами .
Решение:
Вычисление скалярного произведения векторов.
1-й
способ.
2-й
способ.
Нахождение косинуса угла между векторами.
Пример
3.10.
Дан вектор
.
Известно, что
.
Найти
.
Решение.
Имеем
,
т.е.
.
Найдем:
Следовательно,
.
Пример
3.11.
Даны точки
A(–2, 4, –6), B(0, 2, –4) и
C(–6, 8, –10). Найти
косинус угла между векторами
и
.
Решение
1.
Косинус угла φ
между векторами
и
определяется формулой
.
2.
Чтобы вычислить
,
,
и
,
находим координаты векторов:
и
.
3.
По формулам для длины вектора и скалярного
произведения векторов имеем
,
и
.
4.
Подставляя эти величины в формулу,
окончательно имеем
.
Косинус угла между векторами и равен –1.
Пример
3.12. Найти
в
,
если известны координаты его вершин
A(1;
5; 6),
B(5; 3; 10), C(2; 1; 14).
Рис. 3.13.
Решение:
