Свойства матриц. Элементарные преобразования матриц

1. Равенство матриц. Две матрицы и одинаковой размерности равны, если равны соответствующие элементы этих матриц.

;

 этот знак (квантор эквивалентности) заменяет слова «тогда и только тогда»,

обозначение ( ) применяется, если хотят сказать, что i пробегает все значения от 1 до m.

2. Сумма матриц. Суммой двух матриц и называется матрица , элементы которой . Складывать можно матрицы одинаковой соразмерности.

Например, если , , то

3. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число надо каждый элемент матрицы умножить на это число.

.

Например, вычислить , если .

.

4. Умножение матриц. Произведением матрицы на матрицу называется матрица ( ), элементы которой получаются по правилу «строка на столбец»:

, т.е. для вычисления следует элементы i – строки левой матрицы умножить на соответствующие элементы j–го столбца правой матрицы и полученные произведения сложить.

Замечание 1. Из этого определения следует, что произведение матриц имеет смысл тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя.

Замечание 2. Результирующая матрица имеет столько строк, сколько первая матрица и столько столбцов, сколько вторая матрица.

Замечание 3. Если имеют смысл и , то, как правило, .

Пример 1.2. Вычислить , если , .

Решение.

.

;	;	;	;
;	;	;	;
;	;	;	;

Ответ: .

Пример1.3. Перемножить матрицы:

и .

Решение:

.

Для данного примера можно найти и обратное произведение, т.е. , так как число столбцов у матрицы В равно числу строк матрицы :

.

Ответ:

Пример 1.4. Найти произведения двух матриц и , если ,

Решение. Сравним эти произведения.

1)

;	;
;	;

2)

;	;
;	;

Ответ: мы убедились, что в нашем примере .

Пример 1.5. Вычислить , если ; .

Решение. .

Ответ: – нуль–матрица.

Замечание. При умножении матрицы строки на матрицу столбец получается матрица из одного элемента – число.

5. Транспонирование матрицы. Если в матрице строки заменить столбцами, то новая матрица называется транспонированной по отношению к матрице и обозначается символом . Замечание: .

6. Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой матрицей и обозначается символом Ø. А+Ø=А.

Основные свойства операций над матрицами:

1. ;

2.

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. .

Пример 1.6. Найти , если ,

Решение.

Вычисление обратной матрицы

Обратную матрицу имеет только квадратная несобственная матрица, т.е. матрица, определитель которой не равен нулю. Обратной матрицей к матрице называется такая матрица, которая при умножении на данную матрицу слева или справа дает единичную матрицу, т.е.:

.

Для вычисления обратной матрицы можно поступить следующим образом:

1) вычислить определитель данной матрицы ; если он не равен 0, то обратная матрица существует;

2) найти присоединенную матрицу ( ) к данной матрице ( ):

,

3) умножить присоединенную матрицу на число, обратное определителю:

Обратную матрицу можно также найти, используя метод Жордана-Гаусса. Для этого к матрице приписывается единичная матрица того же порядка. После умножения обеих частей полученной матрицы на будем иметь:

.

Первая часть этой матрицы есть матрица Е, вторая часть – . Следовательно, матрицу надо преобразовать так, чтобы в левой части получилась матрица Е, тогда обратная матрица будет в правой части преобразованной матрицы.

Пример 1.7. Найти обратную матрицу к матрице:

.

Решение. Вычислим определитель матрицы :

.

Следовательно, обратная матрица для матрицы существует. Составим присоединенную матрицу. Для этого найдем к каждому элементу матрицы алгебраическое дополнение:

; ; ;

; ; ;

; ; .

Присоединенная матрица имеет вид:

Разделив каждый элемент на получим обратную матрицу:

Можно проверить правильно ли нашли обратную матрицу, исходя из соотношения: .

Найдем теперь обратную матрицу, используя метод Жордана-Гаусса. Составим матрицу и будем преобразовывать ее так, чтобы вместо получить Е:

В результате таких преобразований во второй части матрицы получили обратную.

Ответ: .