1. Побудуйте граф на множині бінарного відношення числа х та у взаємно прості. Побудуйте матрицю суміжностей та матрицю інциденцій цього графа.

2. Тисяча точок є вершинами опуклого тисячокутника, всередині якого поставлено 500 точок так, що жодні три із 1500 не лежать на одній прямій. Многокутник розрізають на трикутники, вершинами яких є задані 1500 точок. Скільки виникне трикутників?

3. У клітинах шахової дошки 100´100 записані цілі числа так, що різниця чисел із довільних сусідніх кліток (клітки із спільною стороною) не перевищує 20. Довести, що на дошці знайдуться принаймні три клітки, в яких записано одне і те ж число.

4. На конгрес приїхало 1000 делегатів, з яких кожен знає декілька мов. Відомо, що кожні троє можуть розмовляти між собою без допомоги інших. Довести, що всіх делегатів можна поселити в 500 кімнатах так, щоб у кожній було по 2 делегата і вони могли розмовляти між собою.

Варіант№16

1. Побудуйте граф на множині бінарного відношення числа – ціле число. Побудуйте матрицю суміжностей та матрицю інциденцій цього графа.

2. Куб розбили на 27 однакових кубиків. Жук спочатку знаходиться в центральному кубику. Чи може жук обійти всі кубики, побувавши в кожному по одному разу, якщо можна переходити в кубик, що має з даним спільну грань?

3. У квадратну таблицю розміру n´n записані цілі невід'ємні числа так, що коли на перетині рядка і стовпця записано 0, то сума всіх чисел цього рядка і стовпця не менше n. Довести, що сума всіх чисел у таблиці не менше .

4. У товаристві, яке має 1982 особи, серед довільних чотирьох можна вибрати хоча б одного, який знайомий із трьома з цієї четвірки. Яке мінімально можливе число осіб, які знайомі з усіма?

Варіант№17

1. Побудуйте граф на множині бінарного відношення числа – парне число. Побудуйте матрицю суміжностей та матрицю інциденцій цього графа.

2. Дано куб, кубічна коробка з кришкою, таких самих розмірів і 6 фарб. Кожною фарбою зафарбовують одну грань куба і одну із граней коробки. Довести, що куб можна вкласти в коробку так, щоб кожна грань куба прилягала до грані коробки, пофарбованої іншим кольором.

3. На березі великого круглого озера розміщено декілька населених пунктів. Між деякими із них курсують теплоходи. Відомо, що два пункти зв'язані рейсом тоді і тільки тоді, коли два наступні за ним проти годинникової стрілки пункти рейсом не зв'язані. Довести, що із кожного пункта в інший можна дістатися теплоходом, зробивши не більше двох пересадок.

4. У кімнаті знаходиться 30 осіб. Довести, що в кімнаті хоча б двоє мають однакову кількість знайомих серед присутніх.

Варіант№18

1. Побудуйте граф на множині бінарного відношення числа – ціле число. Побудуйте матрицю суміжностей та матрицю інциденцій цього графа.

2. Дано 1955 точок. Яке максимальне число трійок точок можна вибрати із них так, щоб кожні три точки мали одну спільну точку.

3. N осіб не знайомі між собою. Треба так познайомити один з одним деяких із них, щоб у жодних трьох не було однакового числа знайомих. Довести таку можливість для довільного N.

4. Дев'ять математиків зустрілись на міжнародній конференції і виявилось, що серед кожних трьох із них хоча б двоє розмовляють однією мовою. Крім того, кожен математик може розмовляти не більше ніж трьома мовами. Довести, що хоча б троє із них розмовляють однією мовою.

Варіант№19