Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Полтавський національний педагогічний університет імені В.Г. Короленка

Фізико-математичний факультет

Кафедра математики

Д и с к р е т н а м а т е м а т и к а

Індивідуальні завдання

МОДУЛЬ Б

(2 семестр)

для студентів І курсу

напряму підготовки 6.040302 „Інформатика”

Полтава – 2011

Завдання для індивідуальної роботи модуль б (рік навчання 1, семестр 2)

Варіант№1

1. Побудуйте граф на множині бінарного відношення числа х та у взаємно прості. Побудуйте матрицю суміжностей та матрицю інциденцій цього графа.

2. Деякі з міст Р₁, Р₂, ... , P₁₉₈₃ попарно з'єднані авіалініями, що належать компаніям А₁, ... , А₁₀. Відомо, що із кожного міста можна перелетіти в інше місто без пересадок, і, що кожна авіалінія діє в обох напрямках. Довести, що існує хоча б одна компанія, яка може забезпечити подорож із початком і закінченням в одному і тому ж місті із непарним числом використаних авіаліній.

3. Зібралось n осіб. Деякі із них знайомі між собою, причому кожні двоє незнайомих мають точно два спільних знайомих, а кожні двоє знайомих не мають спільних знайомих. Довести, що кожний із присутніх знайомий з однаковим числом осіб.

4. Турист, який приїхав до Києва поїздом увесь день ходив по місту пішки. Повечерявши на Голосіївській площі він вирішив повернутись на вокзал, слідуючи тими вулицями, які він вже проходив непарне число разів. Довести, що турист зможе повернутися на вокзал.

Варіант№2

1. Побудуйте граф на множині бінарного відношення числа – парне число. Побудуйте матрицю суміжностей та матрицю інциденцій цього графа.

2. Розрізати квадрат на 8 гострокутних трикутників.

3. Із однакових кубиків складено паралелепіпед. Три грані паралелепіпеда, які мають спільну вершину, пофарбовані. Виявилось, що у половини всіх кубиків пофарбована хоча б одна грань. У скількох кубиків є пофарбовані грані?

4. У місті X з кожної станції метро можна проїхати до кожної іншої. Довести, що одну із станцій метро можна закрити на ремонт без права проїзду через неї так, щоб із будь-якої станції, що залишилась, можна було б проїхати на кожну іншу.

Варіант№3

1. Побудуйте граф на множині бінарного відношення числа х та у не взаємно прості. Побудуйте матрицю суміжностей та матрицю інциденцій цього графа.

2. На листі паперу проведено 11 горизонтальних і 11 вертикальних прямих, точки перетину яких називають вершинами. Ребром будемо називати відрізок, який з'єднує дві сусідні вершини на прямій. Яке найменше число ребер треба витерти, щоб після цього в кожній вершині сходилось не більше трьох ребер?

3. На конгресі зібрались учені, серед яких є друзі. Виявилось, що кожні два із них, які мають на конгресі однакове число друзів не мають спільних друзів. Довести, що знайдеться вчений, який має точно одного друга із учасників конгресу.

4. У деякій країні 1000 доріг з'єднують 200 міст, причому із кожного міста виходить хоча б одна дорога. Яке найбільше число доріг можна одночасно закрити на ремонт, не порушивши зв'язок між містами, який досягався раніше.

Варіант№4

1. Побудуйте граф на множині бінарного відношення числа – ціле число. Побудуйте матрицю суміжностей та матрицю інциденцій цього графа.

2. Зібралось 2n осіб, кожна з яких знайома не менше ніж з n присутніми. Довести, що можна вибрати з них чотирьох осіб і розсадити за круглим столом так, щоб кожен сидів поруч зі своїм знайомим.

3. На площині дано n точок, із яких жодні три не лежать на одній прямій. Дозволено з'єднувати точки відрізками так, щоб ці відрізки не перетинались (але могли мати спільні кінці). Довести, що найбільша кількість відрізків, які можна провести, не залежать від вибору пар точок, які з'єднують.

4. Між деякими містами Платландії є телефонний зв'язок. Довести, що знайдуться хоча б два міста, які мають зв'язок з однаковим числом міст.

Варіант№5

1. Побудуйте граф на множині бінарного відношення числа – непарне число. Побудуйте матрицю суміжностей та матрицю інциденцій цього графа.

2. На олімпіаду прибули n учасників. Деякі з них знайомі, і при цьому кожні двоє незнайомих мають двоє спільних знайомих. Кожні двоє знайомих А і В спільних знайомих не мають. Довести, що кожний із них знайомий з однаковим числом учасників.

3. Дано m точок, деякі з них з'єднані відрізками так, що кожна з'єднана з l точками. Яких значень може набувати l?

4. Десять студентів-математиків склали 35 задач для математичної олімпіади. Відомо, що серед них були студенти, які склали одну, дві або три задачі. Довести, що серед них були студенти, які склали не менше п'яти задач.

Варіант№6

1. Побудуйте граф на множині бінарного відношення числа – неціле число. Побудуйте матрицю суміжностей та матрицю інциденцій цього графа.

2. Розрізати прямокутник на 18 прямокутників так, щоб жодні два суміжні не утворювали прямокутник.

3. Дано замкнену ламану, яка сама себе перетинає, причому кожну ланку вона перетинає точно один раз. Довести, що число ланок парне.

4. Деяка комісія збиралась 40 разів. Кожний раз на засіданні було присутніх по 10 осіб, причому ніякі двоє із членів комісії не були разом на засіданні більше одного разу. Доведіть, що число членів комісії більше 60.

Варіант№7