Тема 5. Обобщающие характеристики статистических совокупностей

В данной теме вы познакомитесь со способами измерения и оценки общего и частного, закономерного и особенного в характеристике социально-экономичес-ких явлений.

1. Общее понятие средней величины. Средняя арифметическая величина, особенности расчета.

2. Квадратичная, кубическая, геометрическая, гармоническая средние.

3. Многомерная средняя величина.

4. Понятие вариации. Вариационный ряд. Графическое отображение вариации.

5. Показатели вариации.

6. Вариация сгруппированных данных.

5.1. Общее понятие средней величины, средняя арифметическая величина, особенности расчета

Средняя величина – количественная характеристика общего в явлениях и процессах, характеристика статистической закономерности.

Пример. В табл. 5.1 представлены средние значения показателей обеспеченности автомобилями и уровня преступности по некоторым административно-территориальным образованиям Российской Федерации. Граждане РФ имеют разный уровень доходов и разные возможности по приобретению личного автомобиля. У кого-то несколько автомобилей в семье, а у кого-то нет ни одного. Возможности отдельного гражданина по приобретению автомобиля определяются двумя факторами. Во-первых, общеэкономическими условиями того города, региона, страны, в которой он проживает и работает (объективная, закономерная составляющая). И, во-вторых, его индивидуальными социально-экономическими характеристиками: активностью, способностями, образованием, стартовыми условиями трудовой деятельности и т.п. (субъективная составляющая). Величина 147,7 как средняя характеристика отражает как раз объективную, закономерную составляющую, формируемую общими для РФ экономическими условиями. Различные условия Центрального и Уральского федеральных округов отображаются в различных (индивидуальных для данных округов) показателях обеспеченности автомобилями. Разница индивидуального для ЦФО (170,4) и среднего по РФ (147,7) значений (+22,7) отражает отличие в лучшую сторону условий жизни и работы (возможности заработать) в ЦФО по сравнению со среднероссийскими. Для Уральского округа, и еще в большей степени для Челябинской области, эти отклонения отрицательны и свидетельствуют о менее благоприятных условиях для покупки автомобиля.

Являясь индивидуальными для административных образований, средние характеристики регионов, в свою очередь, становятся общими условиями для граждан этих регионов и создают объективную составляющую их индивидуальных показателей. Так, если Вы житель Челябинской области и имеете один автомобиль, то на 14 % (объективная, закономерная составляющая) это обусловлено условиями, созданными в регионе, и на 86 % (субъективная составляющая) – Вашими личными особенностями и заслугами.

Аналогичные рассуждения можно провести и по второму показателю. Сделайте это самостоятельно.

Таблица 5.1

Показатели за 2002 год

Административно-территоиальные образования	Число собственных легковых автомобилей на 1 000 человек населения	Число зарегистрированных преступлений на 100 000 человек населения
Российская Федерация	147,7	1756
Центральный федеральный округ	170,4	1555
Уральский федеральный округ	143,1	2056
Челябинская область	142,5	1751

Средняя арифметическая величина – это такая средняя, которая сохраняет сумму значений признака при замене индивидуальных значений на среднее. Средняя арифметическая рассчитывается в тех случаях, когда индивидуальные и общее значения связаны как слагаемые и сумма.

Пример. Индивидуальные значения заработной платы сотрудников предприятия связаны с величиной общего фонда заработной платы (заработная плата по предприятию в целом) как слагаемые и сумма. Следовательно, для расчета средней заработной платы по предприятию необходимо использовать среднюю арифметическую величину.

Различают простую и взвешенную арифметические средние.

Простая арифметическая средняя рассчитывается по формуле

, (1)

где – индивидуальное значение признака; n – количество единиц в статистической совокупности.

Простая арифметическая средняя рассчитывается в случае, если осредняются абсолютные признаки, т. е. если каждое из индивидуальных значений признака характеризует единицу осреднения в целом. Например, средний годовой объем производства на одно машиностроительное предприятие Челябинской области можно рассчитать как отношение суммы объемов производства всех предприятий к числу предприятий, т. е. как простую среднюю, так как каждое индивидуальное значение объема производства характеризует соответствующее предприятие в целом. Но если на основе аналогичных средних по всем субъектам РФ будет рассчитываться средний объем производства машиностроительных предприятий по РФ в целом, то считать уже следует взвешенную среднюю, так как средний объем производства определяется в расчете на одно предприятие, а не на регион в целом. В этом случае единицей осреднения является одно предприятие, а не один регион.

Взвешенная арифметическая средняя рассчитывается по формуле

, (2)

где – значение признака; f _j – вес соответствующего значения признака.

При расчете средней величины следует четко определить, что является единицей осреднения, так как именно сумму единиц осреднения следует использовать в качестве веса при расчете средней величины. Практически во всех случаях (за исключением некоторых специальных расчетов, например, в задачах корреляционного анализа) единица осреднения не изменяется при расширении зоны расчета средней величины.

Таким образом (продолжая предыдущий пример), средний объем производства машиностроительных предприятий по РФ в целом, следует рассчитывать как взвешенную среднюю и в качестве веса использовать число машиностроительных предприятий в каждом регионе.

Пример. В районе два хозяйства выращивают овощи: коллективное и фермерское. Урожайность соответственно 10 и 20 центнеров с гектара, гектаров соответственно 98 и 2. При расчете средней урожайности в рамках каждого хозяйства единицей осреднения является один гектар, т. е. рассчитывается средний урожай с 1 гектара. Чтобы рассчитать среднюю урожайность по району в целом, в качестве единицы осреднения следует также рассматривать один гектар и соответственно среднюю урожайность рассчитывать как взвешенную среднюю, в качестве весов используя количество гектаров:

Расчет средней урожайности, как простой средней ((10+20)/2=15), в данной задаче не является правильным. Очевидно, что величина 15 не отражает объективно среднюю урожайность, если на 98 га из 100 урожайность 10 ц/га и только на 2 – 20 ц/га.

Аналогично, при расчете средней заработной платы по нескольким предприятиям по известным значениям средней зарплаты на каждом предприятии в качестве весов следует использовать число работающих на предприятиях. Единицей осреднения в данном случае является 1 работающий – и на уровне одного предприятия и на уровне группы предприятий. При расчете средней плотности населения по Российской Федерации по известным значениям средней плотности населения в каждом субъекте РФ в качестве весов следует использовать площадь каждого региона. Единицей осреднения в данном случае является 1 кв. км – и на уровне одного региона и на уровне РФ в целом.

Для определения веса при расчете взвешенной средней можно использовать следующее правило: «При расчете средней арифметической из относительных величин весом выбирается знаменатель относительной величины».

Если данные сгруппированы, то для дискретного ряда (каждому значению признака соответствует определенное количество единиц совокупности , характеризуемых этим значением) рассчитывается взвешенная арифметическая средняя, при этом весом выступает – количество единиц со значением признака ; для интервального ряда средняя рассчитывается по формуле

, (3)

где – центр интервала (полусумма границ интервала); – количество единиц в j-м интервале.

Для правильной интерпретации числовых значений средних величин, рассчитанных по сгруппированным данным, также следует определиться с единицей осреднения.