6. Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий.

Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые делится совокупность, а также и между группами. Это достигается путем расчета и анализа различных видов дисперсий.

Выделяют общую, межгрупповую, внутригрупповую (остаточную) дисперсии.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию.

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию признака под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки.

Внутригрупповая (остаточная) дисперсия характеризует вариацию признака под влиянием всех остальных факторов, исключая признак-фактор, положенный в основу группировки.

Остаточные дисперсии рассчитываются по каждой группе, т.е. их количество равно количеству групп.

Затем рассчитывается средняя из остаточных дисперсий:

Правило сложения дисперсий - закон, связывающий три вида дисперсий: общая дисперсия равна сумме межгрупповой и средней из остаточных дисперсий.

7. Показатели характера вариации.

Кривая распределения – графическое изображение частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением значений признака.

Теоретическая кривая распределения – кривая, выражающая общую закономерность данного типа распределения в чистом виде, исключающем влияние случайных факторов.

При анализе ВР целесообразно свести эмпирическое распределение к одному их хорошо исследованных видов теоретического распределения.

Различают следующие разновидности кривых распределения:

1. Одновершинные

- симметричные;

- умеренно асимметричные;

- крайне асимметричные.

2. Многовершинные

Для однородных совокупностей характерны одновершинные распределения. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности.

Выяснение общего характера распределения предполагает:

1. Оценку его однородности.

2. Вычисление показателей асимметрии и эксцесса.

Для симметричных распределений частоты любых двух значений признака, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой и = Mo = Me.

Если Mo > Me > - левосторонняя асимметрия;

Mo < M e < - правосторонняя асимметрия.

При сравнительном изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисляется относительный показатель асимметрии:

При As < 0 - левосторонняя асимметрия;

As > 0 - правосторонняя асимметрия.

Наиболее широко применяется следующий показатель:

Если As > - значительная асимметрия;

As < - незначительная асимметрия.

Для симметричных распределений может быть рассчитан показатель эксцесса:

8.Вариация альтернативного признака.

Среди множества признаков, изучаемых статистикой, существуют признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие – альтернативные признаки.

Вариация альтернативного признака количественно проявляется следующим образом:

1 – у единиц, обладающих данным признаком;

0 – у единиц, не обладающих данным признаком.

Пусть p - доля единиц совокупности, обладающих данным признаком;

q - доля единиц совокупности, не обладающих данным признаком.

Тогда p + q = 1.

Таким образом, альтернативный признак принимает всего два значения 0 и 1 с весами соответственно p иq.

Исчислим среднее значение альтернативного признака по формуле средней арифметической взвешенной:

Дисперсия альтернативного признака:

Контрольные вопросы:

1. Вариация – это …?

2. Показатель дисперсии измеряет…

А.…различия в значении признака у разных единиц статистической совокупности;

Б. …связь между признаками;

В. …динамику значений признака.

3. Какой из показателей делит вариационный ряд на две равные части?

Варианты ответа:

А. мода;

Б. медиана;

В. арифметическая средняя величина;

Г. другой ответ.

4. Если все значения признака увеличить в 16 раз, то дисперсия

А. не изменится;

Б. увеличится в 16 раз;

В. увеличится в 256 раз;

Г. увеличится в 4 раза;

Д. предсказать изменение дисперсии нельзя.

3. Чему равна межгрупповая дисперсия, если отсутствуют различия между вариантами внутри групп?

А. единице;

Б. нулю;

В. колеблется от нуля до единицы;

Г. общей дисперсии;

Д. средней из остаточных дисперсий.

4. При анализе данных о дальности перевозок грузов автотранспортным предприятием получен коэффициент асимметрии As=0,154 и показатель эксцесса Ek=3,456. Это значит, что распределение:

А.нормальное;

Б. плосковершинное, имеет правостороннюю асимметрию;

В. островершинное, имеет левостороннюю асимметрию;

Г. островершинное, имеет правостороннюю асимметрию;

Д. плосковершинное, имеет левостороннюю асимметрию.

5. Какой показатель вариации рассчитывается на основе центрального момента четвертого порядка?

6. По представленному ВР определите значения моды и медианы.

Стаж работы, лет	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число работающих	2	-	2	6	4	4	3	-	2	1

7. Построить графическое изображение представленного в вопросе 6 ВР.

8. Определить значение медианы по представленному в вопросе 6 ВР.

9. В каком случае целесообразно построение интервального ВР?

10. Известно, что значения среднемесячного дохода постоянных потребителей услуг предприятия распределены по нормальному закону со средним значением 9000 и средним квадратическим отклонением 1000. Определить долю потребителей услуг предприятия с доходом не менее 5000 руб./мес.

11. При анализе данных о дальности перевозок грузов автотранспортным предприятием получен коэффициент асимметрии равный 1.354. Это означает, что асимметрия …

А.… левосторонняя (дальних перевозок больше);

Б.… правосторонняя. (дальних перевозок меньше).

12. При анализе данных о дальности перевозок грузов автотранспортным предприятием получен показатель эксцесса равный 2,87. Это означает, что распределение …

А.… нормальное;

Б.… островершинное;

В.… плосковершинное.

13. По представленному вариационному ряду

Количество дефектов, отмеченных в рекламации	1	2	3	4
Количество рекламаций	14	45	55	1

определите значения показателей:

- размах вариации = …

- медиана = …

- мода = …

Ответ представьте в виде трех чисел, через запятую.

14. На рынке недвижимости в изучаемом регионе за прошедший год было продано 209 объектов, цена которых варьирует от $5000 до $40000, цены не повторяются. Вариационный ряд какого вида следует построить для отображения вариации стоимости недвижимости?

Варианты ответа:

А. ранжированный;

Б. дискретный;

В. интервальный.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ:

1. Имеются результаты измерения роста случайно отобранных студентов:

Рост, см	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182	182-186
Число студентов	10	14	26	28	12	8	2

Построить гистограмму распределения роста обследованных студентов. Найти средний рост, медиану, моду, среднее квадратическое отклонение.

2. О рабочих одной из бригад известны следующие данные:

Тарифный разряд	Число рабочих, чел.	Индивидуальная выработка, %
3	6	100, 112, 115, 117, 118, 118
4	4	120, 125, 135, 150
5	5	130, 135, 135, 140, 170

Вычислить по этим данным:

- групповые дисперсии по выработке рабочих ( в зависимости от тарифного разряда);

- среднегрупповую дисперсию по трем группам рабочих;

- межгрупповую дисперсию;

- общую дисперсию выработки рабочих этой бригады.

Правильность расчетов проверить с помощью правила сложения дисперсий.

3. По данным обследования получены следующие данные о распределении студентов-заочников по возрасту.

Возраст студентов, лет	Число студентов, чел.
20-25	200
25-30	900
30-35	700
35-40	150
40-45	50
Итого:	2000

Задание: провести полный вариационный анализ представленной совокупности.

4. Известно, что на первом участке средний процент выполнения норм выработки составляет 98% со средним квадратическим отклонением 11%, а на втором участке – 104% со средним квадратическим отклонением 2%. На каждом участке работает по 25 рабочих. Участки не отличаются по характеру работы, напряженности установленных норм. Какие выводы и предположения может сделать руководитель на основе данной инфрмации?

48