Рівняння із змінними, що розділяються

Диференціальне рівняння називається рівнянням із змінними, що розділяються, якщо його можна записати у виді

. (8.5)

Таке рівняння можна представити також у виді:

чи , якщо .

Перейдемо до нових позначень

Отримуємо: або .

Після знаходження відповідних інтегралів виходить загальний розв‘язок диференціального рівняння із змінними, що розділяються.

Якщо задані початкові умови, то при їх підстановці в загальний розв‘язок знаходиться постійна величина С, а, відповідно, і частковий розв‘язок.

Приклади. 1.⁰ Знайти загальний розв‘язок диференціального рівняння :

.

Розділимо змінні

чи , тоді .

Інтеграл, що стоїть в лівій частині, береться по частинах

і

- це і є загальний інтеграл початкового диференціального рівняння. Щоб перевірити правильність отриманого результату здиференціюємо його по змінній х.

чи , що підтверджує вірність рішення.

2.⁰ Знайти розв‘язок диференціального рівняння за умовою у(2) = 1 (задача Коші).

Маємо , або звідки

і

при у(2) = 1 отримуємо

Разом: або - частковий розв‘язок;

Перевірка: , разом

.

3.⁰ Розв‘язати рівняння

Маємо , , або

. Загальний розв‘язок має вигляд .

4.⁰ Розв‘язати рівняння

Маємо

5.⁰ Розв‘язати рівняння за умовою у(1) = 0 (задача Коші).

Маємо ,

Інтеграл, що стоїть в лівій частині братимемо по частинах

.

.

Якщо у(1) = 0, то

Таким чином, розв‘язок задачі Коші є .

6.⁰ Розв‘язати рівняння .

. Спростимо це рівняння

чи , або

Проводячи інтегрування, отримуємо загальний інтеграл:

.

7.⁰ Розв‘язати рівняння .

Перетворимо задане рівняння: ,

чи , .

Отримали загальний інтеграл цього диференціального рівняння. Якщо з цього співвідношення виразити шукану функцію у, то отримаємо загальний розв‘язок.

Однорідні рівняння першого порядку

Диференціальне рівняння виду називається однорідним диференціальним рівнянням першого порядку, якщо функція f(x, y) може бути представлена у виді

. (8.6)

В цьому випадку вводиться нова змінна або , звідки і початкове диференціальне рівняння перетвориться до виду

Таким чином, отримали рівняння із змінними, що розділяються, відносно невідомої функції u.

Далі, замінивши допоміжну функцію u на її вираз через х і у і, якщо знайти інтеграли, отримаємо загальне рішення однорідного диференціального рівняння.

Приклад. Розв‘язати рівняння .

Введемо допоміжну функцію u

.

Відмітимо, що введена нами функція u завжди позитивна, оскільки інакше втрачає зміст початкове диференціальне рівняння, що містить .

Підставляємо в початкове рівняння:

Розділяємо змінні:

Інтегруючи, отримуємо:

Переходячи від допоміжної функції назад до функції у, отримуємо загальне рішення:

Лінійні рівняння

Диференціальне рівняння називається лінійним відносно невідомої функції і її похідної, якщо воно може бути записане у виді:

(8.7)

при цьому, якщо права частина Q(x) дорівнює нулю, то таке рівняння називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням, якщо права частина Q(x) не дорівнює нулю, то таке рівняння називається лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням.

P(x) і Q(x) - функції безперервні на деякому проміжку a < x < b.

Для інтегрування лінійних неоднорідних рівнянь (Q(x)0) застосовуються в основному два методи: метод Бернулли і метод Лагранжа.

Метод Бернулли.

Суть методу полягає в тому, що шукана функція представляється у вигляді добутку двох функцій .

При цьому очевидно, що .

Підставляючи в початкове рівняння, отримуємо:

чи .

Далі слідує важливе зауваження - оскільки первісна функція була представлена нами у вигляді добутку, то кожен із співмножників, що входять в цей добуток, може бути довільним, вибраним на наш розсуд.

Виберемо функцію u так, щоб виконувалася умова .

Таким чином, можна отримати функцію u, зінтегруючи отримане диференціальне рівняння:

Для знаходження другої невідомої функції v підставимо одержаний вираз для функції u в початкове рівняння з урахуванням того, що вираз, якій стоїть в дужках, дорівнює нулю.

Інтегруванням, можемо знайти функцію v :

, .

Тобто була отримана друга складова добутку , який і визначає шукану функцію.

Підставляючи набутих значень, отримуємо:

Метод Лагранжа

Метод Лагранжа рішення неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь ще називають методом варіації довільної постійної.

Шукається розв‘язок лінійного диференціального рівняння першого порядку :

Перший крок цього методу полягає у відкиданні правої частини рівняння і заміні її нулем.

Далі знаходиться розв‘язок цього однорідного диференціального рівняння:

.

Для того, щоб знайти відповідне рішення неоднорідного диференціального рівняння, вважатимемо постійну С₁ деякою функцією від х.

Тоді за правилами диференціювання добутку функцій отримуємо: