181

8. Диференціальні рівняння

8.1. Основні поняття і визначення

При дослідженні різних явищ і процесів взаємодії між різними середовищами (твердими, рідкими і газоподібними) в області механіки, фізики, хімічних і харчових технологій часто користуються математичними моделями, що виражають фундаментальні закони збереження. Як правило, ці математичні моделі призводять до рівнянь, які зв'язують незалежні змінні, що характеризують процес або явище, з будь-якою функцією цих змінних і похідними цієї функції різних порядків. Такі рівняння називаються диференціальними.

Як приклад можна розглянути простий випадок руху матеріальної точки. Основний закон механічної взаємодії описується законом Ньютона або , який виражає баланс діючих на точку сил (сила інерції урівноважується фізичною силою ). З диференціального числення відомо, що прискорення точки при прямолінійному її русі визначається другій похідній від поточної координати , тобто . Тому математична модель руху матеріальної точки представляється наступною залежністю

, (8.1)

тут мається на увазі, що в загальному випадку діюча на точку сила F може залежати від часу t, переміщення х і швидкості цієї точки. Рівняння (8.1) є диференціальним рівнянням прямолінійного руху матеріальної точки.

Рішенням диференціального рівняння називається функція, яка перетворює диференціальне рівняння в тотожність. Так, для рівняння (8.1) у разі постійної сили, рішенням є функція , де і - довільні постійні.

Розглянемо деякі загальні відомості про диференціальні рівняння (ДР).

Якщо диференціальне рівняння має одну незалежну змінну, то воно називається звичайним диференціальним рівнянням, якщо ж незалежних змінних дві або більш, то таке диференціальне рівняння називається диференціальним рівнянням у часткових похідних.

Найвищий порядок похідних, таких, що входять в рівняння, називається порядком диференціального рівняння.

Приклади.

1.⁰ Рівняння (8.1) - звичайне рівняння другого порядку;

2.⁰ Закон зміни температури тіла залежно від часу t, описується рівнянням , (T₀ - температура середовища, що охолоджує, k - коефіцієнт пропорційності) - рівняння першого порядку;

3.⁰ Залежність маси х речовини, яка вступає в хімічну реакцію, від часу t у багатьох випадках описується рівнянням (k - коефіцієнт пропорційності) - звичайне диференціальне рівняння 1 - го порядку.

4.⁰ Рівняння конвективної дифузії, що описує процес масопереносу в рухомому середовищі, широко застосується для опису функціонування технологічних систем, має вигляд

тут с - концентрація речовини в потоці, - компоненти швидкості середовища, D - коефіцієнт дифузії. Це рівняння є диференціальним рівнянням в часткових похідних другого порядку.

8.2. Диференціальні рівняння першого порядку.

Диференціальним рівнянням першого порядку називається співвідношення, що зв'язує функцію, її першу похідну і незалежну змінну, тобто співвідношення виду :

. (8.1)

Якщо таке співвідношення можна перетворити до виду

(8.2)

те це диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням, яке розв‘язане відносно похідної.

Перетворимо такий вираз далі:

Функцію f(x, y) представимо у виді: тоді при підстановці в отримане вище рівняння маємо:

, (8.3)

• це так звана диференціальна форма рівняння першого порядку.

Далі розглянемо детальніше типи рівнянь першого порядку і методи їх розв‘язання.

Інтегрування диференціального рівняння в загальному випадку призводить до нескінченної множини рішень, які відрізняються один від одного постійною величиною. Наприклад, рішеннями рівняння є функції , , і взагалі , с - const. Останній вираз є загальний розв‘язок початкового диференціального рівняння. Так, щоб розв‘язок диференціального рівняння було цілком визначеним, необхідно, щоб цей розв‘язок задовольняють умовам однозначності. Умова того, що при шукана функція (розв‘язок диференціального рівняння) дорівнює заданому числу називається початковою умовою. Початкова умова для диференціального рівняння першого порядку записується у виді

чи . (8.4)

Задача, яка полягає у визначенні рішення диференціального рівняння першого порядку (8.1) і яка задовольняє заданій початковій умові (8.4), називається задачею Коші.