4.5.12. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке этого интервала (отрезка).
При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.
Непрерывные
на отрезке
функции имеют ряд важных свойств.
Свойство 1. Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке.
Свойство 2. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.
Свойство 3. Функция, непрерывная на отрезке [a, b] и имеющая на его концах неравные значения f(a) = A и f(b) = B , то на этом отрезке она принимает все промежуточные значения между А и В.
Следствие 4. Если функция f(x) - непрерывная на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0.
Задачи для самостоятельного решения.
Найти пределы для функции целочисленного аргумента
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
.
8)
.
9)
.
10)
11)
12)
Найти пределы для функции
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
4.5.13. Вычисление предела функции в среде Maxima
Предел функции f(x) при x → a вычисляется с помощью функции
limit(f(x), x, a);
Рассмотрим примеры:
1) Вычислить предел
Решение: выполним команду
(%i1) limit(sin(x)/x,x,0);
Результат на экране:
(%o1) 1
2) Вычислить предел
(%i2) limit((1+cos(%pi*x))/(tan(%pi*x)^2),x,1);
(%o2) 1/2
Задачи для самостоятельного решения
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
. 11)
12)
13)
15)
16)
