4.5.2. Характеристики поведения функции

1. Функция у = f (х), определённая на множестве Х, называется ограниченной на этом множестве, если существует такое число М > 0, что для всех х Х выполняется неравенство | f (х)| ≤ M. Отсюда следует, что график ограниченной функции расположен между прямыми у = М и у = - М .

2. Пусть функция у = f (х), определена на множестве Х, тогда если для любых двух значений х₁, х₂ Х аргументов из неравенства х₁< х₂ следует неравенство:

1) f(х₁) < f(х₂) , то функция называется возрастающей на множестве Х.

(большему значению аргумента соответствует большее значение функции);

2) f(х₁) > f(х₂) , то функция называется убывающей на множестве Х.

(большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции);

3) f(х₁) ≤ f(х₂) , то функция называется неубывающая на множестве Х ;

4) f(х₁) ≥ f(х₂) , то функция называется невозрастающей на множестве Х .

Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве Х называются монотонными на этом множестве.

3. Пусть функция у = f (х), определена на множестве Х, тогда если для любого х Х выполняется условие:

1) f (-х)= f (х), то функция называется чётной .

2) f (-х)=- f (х), то функция называется нечётной .

График чётной функции симметричен координатной оси Оу , а нечётной – относительно начала координат О.

Например, y = x² , y = cos x, y = ln |x| - чётные функции, y = sin x, y = x³ – нечётные функции.

Если функция не является чётной или нечётной, то она называется функцией общего вида. Например, y = x - 2 , y = - функции общего вида.

4. Функция у = f (х), определённая на множестве Х, называется периодической на этом множестве, если существует такое число Т > 0, что для всех х Х выполняются условия (х + Т) Х и f (х + Т) = f (х). При этом число Т называется периодом функции. Например, функции y =sin x, y = cos x – периодические с периодом Т = 2π .

4.5.3. Обратная функция

Пусть задана функция у = f (х) с областью определения Х и множеством значений Y . Если каждому значению y Y соответствует одно и только одно значение х Х , то имеет место функциональная зависимость x =φ (y) с областью определения Y и множеством значений Х. Такая функция φ (y) называется обратной к функции f (х). Таким образом, функции у=f(х) и x=φ(y)являются взаимообратными. Чтобы найти функцию x =φ (y), обратную к функции у = f (х) необходимо решить уравнение f (х) = у относительно х.

Примеры: 1. Для функции обратной функцией будет ;

2. Для функции , заданной на отрезке [-1, 1] , обратной функции не существует, в то время как для этой же функции заданной на отрезке [0, 1] обратной функцией является .

Из определения обратной функции следует, что функция у = f (х) имеет обратную в том случае, если функция f (х) задаёт взаимно однозначное отображение между областями Х и Y . Очевидно, что любая монотонно возрстающая (монотонно убывающая) функция имеет обратную. Заметим, что графики взаимно обратных функций у = f (х) и у = φ (х) симметричны относительно биссектрисы первой и третей четверти координатной плоскости.