4.2. Числовые промежутки

Пусть a и b - два числа, причём a < b. Числовыми промежутками называются множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству:

1. a ≤ х ≤ b - отрезок (сегмент), обозначение - [a, b]

разность b – a называется длиной отрезка;

2. a < х < b - интервал, обозначение – (a, b);

3. a ≤ х < b - полуинтервал, обозначение - [a, b);

4. a < х ≤ b - полуинтервал, обозначение – (a, b];

5. бесконечные интервалы

x ≤ b , (-∞, b]; x < b , (-∞, b); x ≥ a , [a, +∞); x > a , (a, +∞);

6) множество действительных чисел -∞ < x <+∞), (-∞, +∞).

Числа a и b называются соответственно левым и правым концами этих промежутков.

Символы - ∞, +∞ не числа, а символические обозначения бесконечно удалённых точек числовой оси от начала 0 влево и вправо.

4.3. Абсолютная величина числа и её свойства

Абсолютная величина действительного числа определяется следующим соотношением:

.

Свойства абсолютной величины

1. | a | ≥ 0;

2. | a | = | - a |;

3. Пусть ε – положительное число. Тогда неравенства | a | ≤ ε и - ε ≤ а ≤ ε равносильны;

4. | a + b | ≤ | a | + | b |;

5. | a - b | ≥ | a | - | b |;

6. | a ∙ b | = | a | ∙ | b |;

4.4. Числовые последовательности

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность

{x_n} = x₁, х₂, …, х_n

Последовательность можно задать различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Например: x_n = (-1)ⁿ или {x_n} = -1; 1; -1; 1; …

x_n = sin(n/2) или {x_n} = 1; 0; 1; 0; …

общий член последовательности x_n = .

Определение. Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного  > 0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Если а - предел последовательности, то это записывается так:

или х_n → a при n → ∞.

Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

4.5. Функции одной переменной

4.5.1. Функциональная зависимость

Определение. Пусть Х и Y - некоторые множества действительных чисел. Предложим, что каждому элементу х множества Х по некоторому закону или способу f поставлен в соответствие определенный элемент у множества Y, то говорят, что на множестве Х задана функциональная зависимость (функция) у = ƒ(х), (или отображение множества Х на множество Y). При этом х называется независимой переменной (аргументом), у – зависимой переменной, множество Х - областью определения (существования) функции ƒ, а элементы у = ƒ(х) образуют область значений функции – Y.

Следует отметить, что функциональная зависимость является математической моделью любых процессов и явлений для детерминированных событий, отображающих причинно-следственные взаимодействия. Например, большая часть физических законов представляются в виде функций.

Визуализация функциональной зависимости была рассмотрена в разделе 3.7 (графические возможности Maxima) данного учебного пособия.

Существуют три способа задания функций:

а) аналитический способ, если функция задана формулой вида у = f (х).

Например, 1) у = х² + 1 . Областью определения функции является множество

Х = (-∞, ∞), область значений является множество Y = [0, ∞);

2) f(х) = 3х² + х – 1. Область определения функции - Х = (-∞, ∞),

а область значений - Y = [-13/12, ∞);

б) табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения х и соответствующие значения f (х), например, таблица логарифмов.

в) графический способ, состоит в изображении графика функции – множество точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения функции у = f (х).