§4. Постановка транспортной задачи

Одной из задач линейного программирования является транспорт­ная задача, которая формулируется следующим образом.

И меется т пунктов хранения (баз) A₁, A₂, ..., A_m, на которых сосредоточены запасы некоторого товара в количествах соответствен­но a₁, a₂, ..., a_m условных единиц. Кроме того, имеется п пунктов потребления (магазинов) B₁, B₂, ..., B_n, подавших заявки соответствен­но на b₁, b₂, ..., b_n единиц товара. Стоимость перевозки единицы това­ра из пункта A_i (i = 1, 2, …, m) в пункт B_k (k = 1, 2, …, n) составляет c_ik денежных единиц). Предполагается, что общая стоимость пере­возки партии товара пропорциональна количеству товара в этой партии.

Условия транспортной задачи могут быть представлены с помощью матрицы транспортной задачи:

Если суммарное предложение товара равно суммарному спросу на него

то мы имеем транспортную задачу закрытого типа. В случае, если сумма запасов не равна сумме заявок, имеем задачу открытого типа. Ее легко свести к задаче закрытого типа. Если сумма заявок превы­шает сумму запасов, вводится фиктивный поставщик, «запас» кото­рого равен разности между суммой заявок и суммой запасов. В слу­чае, когда сумма запасов превышает сумму заявок, вводится фиктив­ный потребитель, «заявка» которого равна разности между суммой запасов и суммой заявок. Стоимости всех фиктивных перевозок полагают равными нулю. Таким образом, задача открытого типа сводится к задаче закрытого типа.

Рассмотрим транспортную задачу закрытого типа. В этой задаче требуется составить такой план перевозок товара, чтобы

вывезти весь хранящийся на базах запас товара,

удовлетворить заявки всех магазинов,

добиться минимальной суммарной стоимости всех перевозок.

Построим математическую модель транспортной задачи.

• Укажем переменные, подлежащие определению в результате решения задачи, и введем понятие плана

Обозначим через x_ik количество товара, направляемого из пункта A_i в пункт B_k (i = 1, 2, …, m; k = 1, 2, …, n). Таким образом, в задаче имеется mn оптимизируемых переменных, и план в транспортной задаче имеет вид x=(x₁₁, x₁₂, …, x_mn).

 План перевозок в транспортной задаче удобно представить в виде матрицы

получая наглядное представление о том, какое количество товара перевозится от определенной базы к определенному магазину.

• Составим уравнения и неравенства, определяющие множество допустимых планов

План x=(x₁₁, x₁₂, …, x_mn) является допустимым, если

он обеспечивает вывоз всего хранящегося на базах товара:

он удовлетворяет заявки всех магазинов:

все оптимизируемые переменные неотрицательны: x0.

• Построим целевую (критериальную) функцию

Из двух допустимых планов транспортной задачи лучшим считается тот, которому соответствуют меньшие транспортные издержки (общая стоимость перевозки товаров из мест хранения в места потребления). Таким образом, критериальной функцией в транспортной задаче является функция, сопоставляющая плану x соответствующие транспортные издержки:

E(x) = c₁₁ x₁₁ + c₁₂ x₁₂ + … + c_mn x_mn .

• Выпишем получившуюся задачу математического программирования

Поскольку транспортная задача является задачей линейного программирования, она может быть решена симплекс-методом. В си­лу специфики задачи можно вместо симплекс-таблиц пользовать­ся таблицами более простого вида (так называемыми транспортными таблицами):

Таблица 1

Базы	Магазины							Запас
	B1		B2		…	Bn
A1		c11		c12	…		c1n	a1
	x11		x12			x1n
A2		c21		c22	…		c2n	a2
	x21		x22			x2n
…	…		…		…	…		...
Am		cm1		cm2	…		cmn	am
	xm1		xm2			xmn
Спрос	b1		b2		...	bn

Решение транспортной задачи может быть получено путем не­которых преобразований транспортной таблицы. Как и в общем случае, оптимальное решение ищется среди опорных решений. В системе ограничений-равенств транспортной задачи можно выделить т + п – 1 базисных переменных, выразив их через остальные (сво­бодные). В опорном решении свободные переменные равны нулю. Эти нули в таблицу не записываются, а соответствующие (пустые) клетки таблицы называются свободными клетками. Заполненные клетки таблицы соответствуют базисным переменным и называются базисными клетками. Таким образом, в транспортной таблице, представляющей опор­ный план, имеется т + п – 1 заполненных клеток.