§3. Симплекс-метод

В настоящем параграфе рассмотрим алгоритм основного аналитического метода решения задач линейного программирования – симплекс-метода.

1. Симплекс-метод применяется только к канонической ЗЛП ( 1.9).

Приведем задачу планирования товаро­оборота к канонической форме. Введем дополнительные переменные:

(1)

Переменные Y₁, Y₂ и Y₃ имеют очевидный экономический смысл – это остатки сырья R₁, R₂, R₃ при реализации плана X=(X₁, X₂).

2. Алгоритм симплекс-метода, рассматриваемый в настоящих методических указаниях, применяется только к задаче минимизации.

З адачу нахождения максимума всегда можно свести к задаче нахождения минимума, сменив знак у целевой функции, причем:

обе задачи будут иметь одно и то же множество решений,

значения задач будут различаться знаком.

Таким образом, задачу об отыскании максимума функции Е можно свести к задаче отыска­ния минимума функции Е' = –Е. Для единообразия схемы приме­нения симплекс-метода мы будем говорить о нахождении только ми­нимума функции. Поэтому задачу планирования товарооборота будем рассматривать как задачу минимизации функции

Е' = –7X1–5X2

(2)

на множестве всех допустимых планов.

Итак, при решении симплекс-методом задачи планирования то­варо­обо­рота используется следующая ее формулировка:

найти такие неотрицательные значения переменных X₁, X₂, Y₁, Y₂, Y₃ (план Z=(X₁, X₂, Y₁, Y₂, Y₃)), удовлетво­ряющие системе (1), при которых функция (2) достигает минимума.

В системе уравнений (1) переменные Y₁, Y₂, Y₃ выражены че­рез X₁, X₂. В соответствии с этим переменные Y₁, Y₂, Y₃ называют­ся базисными, а переменные X₁, X₂ – свободными.

3. Из геометрической интерпретации задачи следует, что опти­мальное решение достигается в одной из вершин многоугольника области допустимых решений (ОДР). Вершины ОДР называются опорными точками, а соответ­ствующие допустимые решения — опорными решениями задачи (опорными планами).

Идея симплекс-метода заключается в том, чтобы, переходя от одного опор­ного плана к другому, двигаться в направлении умень­шения значения минимизируемой функции.

При нахождении опорных планов следует иметь в виду сле­дующее их свойство: в опорном плане обращаются в нуль по край­ней мере столько переменных, сколько свободных переменных со­держит система уравнений задачи.

Рассмотрим алгебраические основы симплекс-метода на примере задачи планирования товарооборота.

Решение задачи симплекс-методом начинается с нахождения первого опорного плана. Положив в (1) свободные переменные X₁ и X₂ равными нулю, получаем:

X₁=X₂=0, Y₁=19, Y₂=13, Y₃=15.

При этом Е' = Е = 0. Так как значения всех переменных неотри­ца­тельны, полученный план Z¹=(0, 0, 19, 13, 15) является опорным. Согласно этому плану товары не продаются и товарооборот равен нулю. Естественно, такой план не может быть оптимальным.

Этот вывод следует и из формальных рассуждений: увеличивая любую из переменных X₁ и X₂ (что, очевидно, возможно), мы уменьшаем значение функции Е' = –7X₁–5X₂ , так как эти перемен­ные входят в выражение Е' с отрицательными коэффициентами.

Будем увеличивать X₁, оставляя X₂ = 0. Новый опорный план будет достигнут, как только одна из переменных Y₁, Y₂ или Y₃ обратится в нуль. Из (1) имеем: Y₁ = 0 при X₁ = 19/2, Y₂ = 0 при X₁ = 13/2; Y₃ =15 при любом значении X₁. Таким образом, в новом опорном решении

X₁ = min{19/2, 13/2}=13/2,

при этом X₂ = Y₂ = 0.

Чтобы проверить, является ли новый опорный план оптимальным, нужно из уравнений (1) выразить пере­менные X₁, Y₁ и Y₃ через X₂ и Y₂, а затем подставить полученное выражение X₁ в функцию Е'. Таким образом, мы заменим в системе (1) свободную переменную X₁ на бывшую базисную Y₂.

Вместо того, чтобы переразрешать систему уравнений относи­тельно новых базисных переменных, можно выполнить преобразова­ние специальной таблицы, которая называется симплексной табли­цей. Для ее составления следует записать систему уравнений задачи и целевую функцию в так называемой стандартной форме: в правых частях уравнений и в выражении целевой функции после свободных членов ставится знак (–) и далее в скобках записыва­ются свободные переменные с соответствующими коэффициентами.

Запишем в стандартной форме нашу задачу:

(3)

По стандартной форме записи системы и целевой функции составляется симплексная таблица, в которую записы­ваются свободные члены и коэффициенты при свободных переменных:

Таблица 1

Базисные переменные	Свободный член	Свободные переменные
		X1	X2
Y1	19	2	3	19/2
Y2	13	2	1	13/2
Y3	15	0	3	–
Е'	0	7	5

Эта таблица соответствует первому опорному плану: свободные переменные X₁ и X₂ равны нулю, а базисные перемен­ные Y₁, Y₂, Y₃ и функция Е' равны соответствующим свободным членам.

План оптимален, если в столбцах свободных переменных в последней строке таблицы нет поло­житель­ных коэффициентов.

Таким образом, рассматриваемый план не оптимален. Чтобы уменьшить функцию Е', следует увеличить свободную переменную, которой соответствует положительный коэффициент в строке Е' (например, X₁). В новом опорном плане обратится в нуль та базисная переменная, для которой отношение свободного члена к соответствующему (положительному!) коэффициенту столбца X₁ будет минимальным (эти отношения записываются в последнем столбце таблицы). В нашем примере это переменная Y₂.

Для вычисления нового опорного плана следует в системе уравне­ний (1) заменить свободную переменную X₁ на базисную Y₂.

Соответствующая симплексная таблица (симплекс-таблица) будет иметь следующий вид:

Таблица 2

Базисные переменные	Свободный член	Свободные переменные
		Y2	X2
Y1
X1
Y3
Е'

Чтобы определить коэффициенты, которые должны быть записа­ны в этой таблице, нужно преобразовать таблицу 1 в соответствии с приведенным ниже алгоритмом. При этом удобно вести расчеты прямо в исход­ной таблице, отводя левый верхний угол каждой клетки для исход­ных коэффициентов, а правый нижний — для вспомогательных ре­зультатов.

Алгоритм преобразования симплекс-таблицы

1. В исходной таблице (таблица 3) выделяются столбец и строка, соответствующие тем переменным, которые меняются местами. Они называются разрешающим столбцом и разрешающей строкой (в на­шем примере это столбец X₁ и строка Y₂). Элемент, стоящий на их пересечении, называется разрешающим элементом.

Таблица 3

Базисные переменные	Свободный член		Свободные переменные
			X1		X2
Y1	19		2		3
		–13		–1		–1
Y2	13	13/2	2		1	1/2
				1/2
Y3	15		0		3
		0		0		0
Е'	0		7		5
		–91/2		–7/2		–7/2

2. Вычисляется величина , обратная к разрешающему элемен­ту. Значение  записывается в правом нижнем углу той же клетки, в которой находится разрешающий элемент.

3. Каждый элемент разрешающей строки (кроме разрешающе­го элемента) умножается на , результат записывается в правом нижнем углу той же клетки.

4. Каждый элемент разрешающего столбца (кроме разрешающе­го элемента) умножается на ( –), и результат записывается в пра­вом нижнем углу той же клетки.

5. В разрешающей строке выделяются все старые элементы (кроме разрешающего). В разрешающем столбце выделяются все новые элементы, за исключением клетки с разрешающим элементом.

6. Для каждой из клеток, не принадлежащих ни к разреша­ющей строке, ни к разрешающему столбцу, в правый нижний угол записывается произведение выделенных чисел, стоящих в том же столбце и в той же строке, что и данная клетка.

7. Таблицу переписывают, при этом заменяют:

выделенную свободную переменную – на выделенную базисную;

элементы разрешающего столбца и разрешающей строки – на числа, стоящие в правых нижних углах клеток;

каждый из остальных элементов таблицы – на сумму чисел, стоящих в левом верхнем углу и в правом нижнем углу клетки.

Выполнив преобразование таблицы 3 в соответствии с приведенным алгоритмом, получим следующую таблицу:

Таблица 4

Базисные переменные	Свободный член	Свободные переменные
		Y2	X2
Y1	6	–1	2
X1	13/2	1/2	1/2
Y3	15	0	3
Е'	–91/2	–7/2	3/2

Этой таблице соответствует следующая запись системы уравнений и функции Е':

В новом опорном плане Z²=(13/2, 0, 6, 0, 15)

Y₂=X₂=0, Y₁=6, X₁=13/2, Y₃=15, Е'= –91/2, Е = –Е'= 91/2.

Согласно этому плану, следует продавать 13/2 единиц товара А и не продавать товар В; при этом остатки ресурсов R₁ и R₃ равны, соответственно, 6 и 15 единицам, а ресурс R₂ расходуется полностью. Товарооборот равен 91/2.

Этот план не оптимален, так как в последней строке таблицы есть положительный коэффициент при свободной переменной X₂, а зна­чит, увеличивая X₂, можно уменьшить Е' (увеличить товарооборот). Выделим в таблице 5 разрешающий столбец X₂. Мини­мальное из отношений свободных членов к положительным коэффи­циентам столбца X₂ определяет в качестве разрешающей строки строку Y₁.

Таблица 5

Базисные переменные	Свободный член		Свободные переменные
			Y2		X2
Y1	6		–1		2
		3		–1/2		1/2
X1	13/2	–3/2	1/2		1/2
				1/4		–1/4
Y3	15		0		3
		–9		3/2		–3/2
Е'	–91/2		–7/2		3/2
		–9/2		3/4		–3/4

Применив алгоритм преобразования симплекс-таблицы, получим следующую таблицу:

Таблица 6

Базисные переменные	Свободный член	Свободные переменные
		Y2	Y1
X2	3	–1/2	1/2
X1	5	3/4	–1/4
Y3	6	3/2	–3/2
Е'	–50	–11/4	–3/4

Симплекс-таблице 6 соответствует опорный план Z³=(5, 3, 0, 0, 6)

Y₂ = Y₁ = 0, X₂ = 3, X₁ = 5, Y₃ = 6,

и значение оптимизируемой функции Е' = – 50 (соответственно, Е = 50).

Полученный план оптимален, поскольку в последней строке таблицы 6 нет положительных коэффициентов в столбцах свободных переменных.

Таким образом, в рассматриваемой задаче оптимальным является следующий план: продавать 5 единиц товара А и 3 единицы товара В. При этом полностью расходуются ресурсы R₁ и R₂ и остаются неиспользован­ными 6 единиц ресурса R₃. Такой план обеспечивает максимальный товарооборот, равный 50 рублям.