§2. Геометрическая интерпретация стандартной задачи линейного программирования

Специфические особенности ЗЛП (линейная целевая функция, линейные ограничения) позволяют получить ряд геометрических интерпретаций, связанных с поиском ее решения.

 1 Задача планирования товарооборота

П ри продаже товаров А и В используется три вида ресурсов: R₁, R₂, R₃ (например, R₁ – рабочее время; R₂ – полезная площадь торгового зала; R₃ – упаковочный материал). Сведения о количестве ресурсов, необходимых для продажи единицы каждого товара, обеспеченности торгового предприятия этими ресурсами и ценах, по которым товары продаются, приведены в следующей таблице:

Таблица 1

Ресурсы	Товары		Запас ресурсов
	A	B
R1	2	3	19
R2	2	1	13
R3	0	3	15
Цена товара	7	5

Составим план продажи товаров, обеспечи­вающий максимальный товарооборот.

Для математической формализации оптимизационной проблемы воспользуемся сформулированном в предыдущем параграфе алгоритмом.

• Укажем переменные, подлежащие определению в результате решения задачи, и введем понятие плана.

Обозначим через X₁ и X₂ запланированный объем продажи товаров А и В и назовем вектор X=(X₁, X₂) планом продажи товаров.

• Составим уравнения и неравенства, определяющие множество допустимых планов.

Из экономического смысла величин X₁ и X₂ следует, что X₁0, X₂0.

Из таблицы 1 следует, что продажа X₁ единиц товара А требует 2X₁ единиц первого ресурса и 2X₁ единиц второго ресурса, а продажа X₂ единиц товара В требует 3X₂ единиц первого ресурса, X₂ единиц второго ресурса и 3X₂ единиц третьего ресурса. Таким образом, план продажи X=(X₁, X₂) допустим, если для его реализации достаточно имеющихся в наличии ресурсов:

(1)

• Построим целевую (критериальную) функцию

Из последней строчки таблицы 1 следует, что при реализации плана X=(X₁, X₂) товарооборот составит E(x)=7X₁+5X₂ денежных единиц.

• Выпишем получившуюся математическую модель оптимизационной задачи или задачу математического программирования:

(2)

И зобразим на плоскости допустимое множество задачи (2). Учитывая неотрицательность оптимизируемых переменных, ограничимся первой четвертью декартовой прямоугольной системы координат OX₁X₂.

Рис. 1 Построение допустимого множества задачи планирования товарооборота

Последовательно изобразим планы, полностью исчерпывающие запас первого (отрезок I), второго (отрезок II) и третьего ресурса (отрезок III), а затем стрелками укажем те полуплоскости, в которых лежат планы, на которые соответствующего ресурса хватит с избытком. Допустимым множеством задачи (2) является пересечение вышеупомянутых полуплоскостей (множество планов, на реализацию которых хватит всех ресурсов) (рис. 1).

Определим, в какой точке допустимого множества задача (2) имеет решение. С этой целью рассмотрим множество поверхностей уровня целевой функции задачи (совокупность планов продажи товаров с одинаковым товарооборотом):

E(x)=7X1+5X2=d,

(3)

геометрически представляющих собой семейство отрезков параллельных прямых.

Изобразим некоторую поверхность уровня, соответствующую, например, d=14, которая представляет собой прямую, заданную уравнением:

7 X₁+5X₂=14.

Рис. 2 Геометрическое решение СЗЛП

Стрелка на рис. 2 указывает направление, в котором лежат планы продаж с большим (чем 14) товарооборотом, в противоположном направлении лежат планы с меньшим товарооборотом.

Поскольку в направлении стрелки лежат допустимые планы задачи (2), можно добиться большего товарооборота, перемещая поверхность уровня параллельно самой себе до тех пор, пока она пересекает допустимое множество. План A (рис. 2) является планом с наибольшим товарооборотом, поскольку все отличные от A планы лежат ниже поверхности уровня, которому принадлежит план A.

Координаты точки А удовлетворяют уравнениям прямых, на пересе­чении которых она лежит. Решая систему

получаем оптимальное решение задачи: X*=(5, 3) (X₁=5; X₂=3). При этом товарооборот составит

Е_max=75 + 5З = 50

денежных единиц.