6.3.1.3 Математическая модель метода и устройства при нагреве исследуемых образцов постоянным тепловым потоком

Математическая модель, описывающая температурное поле в исследуемых образцах 1 и 1 при осуществлении первого варианта активной стадии метода регулярного режима второго рода, когда исследуемые образцы нагревают за счет подводимого к ним постоянного теплового потока q = const, имеет вид:

, , ; (6.32)

; (6.33)

; (6.34)

, (6.35)

где пространственная координата и время; R – толщина исследуемых образцов 1 и 1; q – тепловой поток, подводимый к поверхностям исследуемых образцов 1 и 1; T₀ – начальное распределение температуры в образцах 1 и 1; λ, a – теплопроводность и коэффициент температуропроводности исследуемого материала.

Решение прямой краевой задачи теплопроводности (6.32) – (6.35) имеет вид [1]:

(6.36)

где , (n = 1, 2, …) – собственные значения краевой задачи Штурма-Лиувилля, возникающей при решении прямой краевой задачи теплопроводности (6.32) – (6.35).

Зависимость температурного поля от пространственной координаты x и времени τ, рассчитанная по формуле (6.36), представлена на рис. 6.7.

Рис. 6.7 Графическая иллюстрация температурного поля Т (х, ) образцов 1 и 1 при осуществлении первого варианта активной стадии регулярного режима второго рода:

а – зависимость от пространственной координаты x;

б – зависимость от времени 

Анализ решения (6.36) краевой задачи (6.32) – (6.35) показывает:

1) если в качестве характерной (для данной задачи) разности температур принять величину

,

имеющую размерность температуры то безразмерная температура для рассматриваемой краевой задачи может быть представлена в виде

;

2) в качестве безразмерной пространственной координаты можно использовать величину

;

3) в качестве безразмерного времени можно использовать число Фурье

.

С учетом введенных безразмерных переменных решение (6.36) можно представить в виде:

(6.36а)

или

. (6.36b)

В (6.36b) принято по внимание, что при Fо > 0,49 с погрешностью не более 1 % можно пренебречь бесконечным рядом в правой части (6.36а), описывающим зависимость температурного поля от начального распределения температуры T (x, 0) = T₀ = const.

Отметим, что в правой части (6.36b) стоит слагаемое , представляющее собой функцию

,

описывающую квазистационарное (установившееся во времени) распределение температуры в образцах 1 и 1, достигаемое после наступления (при Fо > 0,49) регулярного режима второго рода.

Оценим примерную величину промежутка времени τ, необходимого для того чтобы после начала активной стадии эксперимента можно было пренебречь бесконечным рядом в правой части (6.36) и (6.36а). Зададимся величинами:

– температуропроводность исследуемого материала а = 0,9∙10^–7 м²/с;

– толщина образцов 1 и 1 R = 3 мм = 0,003 м = 3∙10^–3 м.

Тогда R² = 9∙10^–6 м² = 0,9∙10^–5 м².

С учетом того, что регулярный режим второго рода с погрешностью не более 1 % наступает при Fо > Fо^* = 0,49, получаем уравнение

,

из которого находим

Таким образом, при исследовании образца с толщиной R = 3∙10^–3 м, с коэффициентом температуропроводности а = 0,9∙10^–7 м²/с регулярный режим второго рода наступает раньше, чем через одну минуту после начала эксперимента.

Если толщина образца R = 10 мм = 110^–2 м, при а = 110^–7 м²/с получаем

т.е. регулярный режим второго рода наступает через восемь минут после начала активной стадии эксперимента.

Рассмотрим вывод расчетных соотношений для вычисления искомых теплофизических свойств исследуемого материала.

После наступления регулярного режима второго рода, т.е. при τ > τ^* температура Т (R, τ) внешних поверхностей образцов 1 и 1 при x = R будет изменяться по закону

(6.36с)

который легко получается из формулы (6.36) с учетом того, что при  > ^* можно пренебречь всеми членами ряда, стоящими в правой час- ти (6.36).

Аналогично, при  > ^* из (6.36) получаем, что температура Т (0, ) между образцами 1 и 1 при х = 0 будет изменяться по закону

(6.36d)

Сравнивая (6.36с) и (6.36d) с рис. 6.7, получаем, что обозначения T_HR , T_H0 и K, использованные на рис. 6.7, б, могут быть вычислены по соотношениям:

;

;

. (6.36f)

По экспериментально измеренным значениям температур Т (R, ) или T (0, ) при  > ^*можно определить величину скорости K изменения температуры в ходе регулярного режима второго рода. Например, по двум точкам Т (R, ₁) и Т (R, ₂) при  > ^* легко получить

. (6.36g)

Аналогично, по двум точкам Т (0, ₁) или T (0, ₂) при  > ^* можно определить

.

Тогда из (6.36f) получаем соотношение для вычисления объемной теплоемкости

. (6.37)

Если из (6.36с) вычесть (6.36d), то получим, что измеряемая термопарами 7 и 8 разность температур ΔТ после наступления регулярного режима второго рода при  > ^* равна

Из последнего соотношения следует расчетная формула для вычисления искомой теплопроводности  исследуемого материала

. (6.38)

Коэффициент температуропроводности а может быть вычислен по известному соотношению

или

. (6.39)

Расчетные соотношения (6.37) – (6.39) широко используются для вычисления комплекса искомых теплофизических свойств при практическом использовании метода регулярного режима второго рода.